MATEK (x^2) - (2^x) =0 Három eredménye van. Mi a harmadik?

-0,8 körül van.

Az f(x)=x*e^x inverz függenyének a komplex kiterjesztésével algebrai formában is kiszámolható. Elemi eszközökkel viszont fogós feladatnak tűnik.

Valós a harmadik gyök is, csak negatív.

Azzal lehet csinálni, amit BKRS írt, de nem kell kiterjeszteni komplexbe.

Az a neve, hogy Lambert féle W() függvény, ami az y = x·e^x függvény inverze. Szóval y = W(y) · e^W(y)

Mondjuk ez nem olyan egyszerű függvény, mint mondjuk a √y (ami az y=x² inverze). Vagyis ez az egész levezetés csak akkor érdekes neked, ha tanultátok már ezt a függvényt. Ha gimnazista vagy, akkor nem igazán.

Így jön ki a negatív gyök:

  x² = 2^x

Most x negatív, legyen u = -x

  u² = 2^(-u) = 1/2^u

  u² · 2^u = 1

kettes alapról térjünk át e alapra:

  u² · e^(u · ln2) = 1

vonjunk gyököt

  u · e^(u · ln2 / 2) = 1

legyen b = ln2 / 2, hogy ne kelljen ezt sokszor leírni

  u · e^(u·b) = 1

  u·b · e^(u·b) = b

Most v=u·b behelyettesítéssel v·e^v = b jön ki. Ez a bal oldalon már pont a fent említett függvény, b értékkel. Az inverze, vagyis a megoldása v = W(b)

Vagyis x-ben a negatív gyök:

x = - W(b) / b

x = -W(ln2/2) / (ln2/2)

Normál számológépben nem lehet a W-t ugyanúgy kiszámolni, mint mondjuk a szinuszt, de jobb matematikai programok ismerik, és sorfejtéssel kiszámolják az értékét. pl. a wolfram úgy hívja, hogy ProductLog:

[link]