Hogyan bizonyithato hogy: 2 + 2012/2 + 2011/2^2 + 2010/2^3 + . + 3/2^2010 + 2/2^2011 = 2013?

Nézzük először ezt a darabot:

2012/2 + 2011/2^2 + 2010/2^3 + . + 3/2^2010 + 2/2^2011 =

= 2012/2 * (1+1/2+1/4+.+1/2^2010)- 1/2^2 -2/2^3 -3/2^4-.-2010/2^2011 =

=2012/2 * (1/2^2011 -1)/(1/2 -1) - (1/2^2 + 2/2^3 + 3/2^4 + . + 2010/2^2011) =

=

2012*(1 - 1/2^2011)

- 1/2^2*(1+1/2+1/4+.+1/2^2009)

-1/2^3 *(1+1/2+.+1/2^2008)

-1/2^4*(1+1/2+.+1/2^2007)

-.

-1/2^2011*(1) =

= 2012*(1 - 1/2^2011)

- 1/2*(1-1/2^2010)

-1/2^2 *(1-1/2^2009)

-1/2^3*(1-2^2008)

-.

-1/2^2010*(1-1/2) =

= 2012 - 2012/2^2011

- 1/2+ 1/2^2011

-1/2^2 +1/2^2011

-1/2^3+2^2011

-.

-1/2^2010-1/2^2011 =

= 2013 - 1 - 1/2 -1/4 -1/8 -.1/2^2010 - 2012/2^2011 + 2010/2^2011 =

=2013 -(1/2^2011 -1)/(1/2 -1) -2/2^2011=

=2013 -2 = 2011

Szóval akkor az egész az 2013.

Tehát az általánosabb sorozat így fog kinézni:

s(m):=2+sum(n/2^(m+1-n)) n=2-től m-ig.

Ebből azt kapjuk, hogy s(2)=3, s(3)=4, s(4)=5 stb. Na és most jöhetne az a indukciós feltevés, hogy m-re igaz az állítás, miszerint s(m)=m+1. Ekkor be kéne látnunk, hogy az

s(m)=m+1. Így s(2012)=2013.

s(n-1)=2+A és s(n)=2+B+n/2 alakra írható a fenti definíció alapján. Kihasználva c(1/2^k+1/2^(k+1))=2c/2^(k+1)

azonosságot, s(n+1)+s(n)=2+2+3B+n/2 alakra is írható.

De s(n+1)+s(n)=2+2+A+B+n/2 amiből B=A/2. Mivel s(n-1)=n indukciós feltevéssel éltünk, A=n-2. Ezek után írhatjuk, hogy s(n)=2+(n-2)/2+n/2=2+n-1=n+1. Ha most vesszük n=2013-at és kapjuk a keresett bizonyítást. Ez valamivel általánosabb, mint az előbbi bizonyítás. Sz. Gy.

Megint egy kis hiba. A felhasznált azonosság:

c(1/2^k+1/2^(k+1))=3c/2^(k+1). Sz. Gy.