Ezt hogy kell megcisnálni?

"Hány egyenest határoznak meg egy síkon egy szabályos ötszög csúcsai, ill hatszög csúcsai?"

Minden egyenest két pont határoz meg, tehát annyi egyenes lesz, ahányféleképpen ki lehet választani 2 pontot a pontok közül. Tanultatok kombinatorikát? Ez az ismétlés nélküli kombináció: (5 alatt 2) = 5·4/2 = 10 az ötszögnél, (6 alatt 2) = 6·5/2 = 15 a hatszögnél.

"Hány részre osztják a síkot egy szabályot ötszög oldalegyenesei, ill hatszög oldalegyenesei?"

Ezt nehezebb elképzelni, úgyhogy le kell rajzolni. Ha le van rajzolva, meg is lehet számolni: 16 illetve 19.

Ha szabályszerűséget keresel, akkor azt lehet észrevenni, hogy minden oldaléltől "kifelé" lesz egy háromszög, és annak a túlsó csúcs "mögött" egy másik. Aztán minden csúcshoz is illeszkedik a sík egy része. Végül ott van még a sokszög maga. Tehát n oldalú szabályos sokszög esetén 2·n + n + 1 = 3n+1 részre oszlik a sík.

3·5+1 = 16

3·6+1 = 19

Kiegészítés:

Nagyon valószínű, hogy simán csak úgy kell megcsinálni a feladatot, hogy felrajzolod és megszámolod. Remélem, ez megy, de ha nem, szólj.

Viszont mivel írtam képleteket is, kiegészítem az előző válaszomat. Nem biztos, hogy ezt meg kell értened a feladathoz, csak azért írom, hogy ne maradjon itt rossz képlet.

Az első kérdéshez írt képlettel nincs semmi gond, az tényleg igaz minden oldalú szabályos sokszögre.

A második viszont csak az 5 valamint 6 oldalúakra igaz. Egyéb esetekben ez kellene:

Legyen a sokszög n oldalú. Ha n páros, akkor legyen k=n/2, páratlannál pedig k=(n+1)/2.

Az oldalakat nevezzük A1, A2, ... An-nek (az óramutatóval azonos irányban).

Páros n esetén az A1-A2 oldal párhuzamos az Ak+1-Ak+2 oldallal.

Rajzoljuk át az oldalakat mondjuk zöld színnel úgy, hogy meghosszabbítjuk mindegyiket a 'túlsó' felénél egy félegyenesként. Tehát pl. az A1-A2 oldalt az A2 ponton túlra, az A2-A3 oldalt az A3-on túlra, stb. Ezek a zöld félegyenesek nem metszik egymást máshol, csak a csúcsokban, ezért a síkot n+1 darab részre szabdalják: n darab hegyesszögű szögtartományra, plusz magára a sokszög lapjára.

Nézzük pl. az A1-ből induló, A1A2-t tartalmazó zöld félegyenest. Ehhez rendeljük hozzá azt a szögtartományt, aminek az A1 pontban van a csúcsa. Hasonlóképpen minden félegyeneshez (és így minden csúcshoz is) egy szögtartományt rendelünk.

Most vizsgáljuk meg az oldalegyenesek másik felét, amit eddig nem rajzoltunk be. Rajzoljuk be őket pirossal. Tehát pl. az A2A3 oldalnak az A2-n túli meghosszabbítása lesz ez a piros félegyenes (az A3-on túli meghosszabbítás a zöld.)

Nézzük, hogy mondjuk az A1A2-höz rendelt A1 csúcsú szögtartományt mely piros félegyenesek darabolják. Azt látjuk, hogy az A2A3-tól kezdve teljesen az AkAk+1-ig mindegyik piros félegyenes belemetsz az A1A2-höz rendelt zöld szögtartományba. Páros n esetén az Ak+1-Ak+2 már nem, mert az párhuzamos A1A2-vel. Páratlan esetben meg már eltartó lesz tőle, tehát főleg nem.

Vagyis a zöld szögtartományt k-1 darab piros félegyenes fogja szabdalni, ezáltal 1 tartomány helyett k darab lesz belőle.

Ugyanez történik a többi szögtartománnyal is, tehát összességében k·n részre lesznek osztva a zöld szögtartományok. A sokszög lapjába nem metsz bele egyik oldalegyenes se, az marad egyben, ezért a sík k·n+1 részre lesz osztva.

Néhány sokszög esetén ez lesz a szám:

3szög: k=2: 2n+1 = 7

4szög: k=2: 2n+1 = 9

5szög: k=3: 3n+1 = 16

6szög: k=3: 3n+1 = 19

7szög: k=4: 4n+1 = 29

8szög: k=4: 4n+1 = 33