Taylor-sorokban valaki tud segíteni?

Taylor sort valamilyen ponthoz (x értékhez) lehet rendelni. Szóval egy x₀ pont körül lehet sorba fejteni.

Itt is csak egyetlen képlettel kell dolgozni:

T(x) = Σ f^(n)(x₀)/n! · (x-x₀)ⁿ

ahol f^(n)(x) az f függvény n-edik deriváltját jelenti. A nulladik derivált maga a függvény. A szumma 0-tól a végtelenig megy.

A deriváltak sorban:

f = x² + cos(2x)            ("nulladik derivált")

f ' = 2x - 2sin(2x)

f '' = 2 - 4cos(2x)

f ''' = 8sin(2x)

f '''' = 16cos(2x)

Az (x-x₀)ⁿ együtthatóját c_n-nek is szokás jelölni.

Nem adtad meg x₀-t, szóval hogy mi körül kell sorba fejteni, nézzük mondjuk 0 körül:

c₀ = f(x₀)/0! = f(0) = 0² + cos 2·0 = 1

c₁ = f '(x₀)/1! = f '(0) = 2·0 - 0 = 0

c₂ = f ''(x₀)/2! = (2 - 4)/2 = -1

c₃ = f '''(x₀)/3! = 0

c₄ = f ''''(x₀)/4! = 16/4! = 16/24 = 2/3

Szóval a Taylor sor első három nem-nulla tagja:

1 - (x-0)² + 2/3·(x-0)⁴

1 - x² + 2/3·x⁴