Hogy kell megoldani ezeket a valószínűségszámításos feladatokat?

javaslom számolj utánam, én csak gyors számítást végeztem, de az elvet azt leírom:

1,a) 5-tel akkor osztható, ha az utolsó számjegye 5, az első kettő bármi lehet, azaz mindegyik mind ba 6 féle: 6*6*1, ez a kedvező eset

az összes eset mindenhol ugyanaz 6*6 *6=216

p= kedvező/ összes= 36/216

b.) páratlan, ha a vége 1,3,5, ez 3 eset, az első 2 6-6, így: 6*6*3= 108 a kedvező: p=108/216

2.a.) páros lesz az összeg, ha 3 párost vagy 2 ptln-t és egy párost adunk össze( na ezt számold utánam) ez 55 számnál teljesül, p=55/216

b.) 3-mal osztható, ha 3,6,9,12,15,18 az összeg, ez 64 esetben lesz, p= 64/216

c.) 3,5,7,11,13,17 lehet a keresett prímszám, ezek összesen 70 esetben lesznek: p=70/216

2)

a)

Párosak: 2,4,6: 3-féle

Páratlan: szintén 3-féle.

Mindhárom páros: 3·3·3 = 27 esetben

Két páratlan meg egy páratlan, ráadásul 3-féle helyen lehet a páratlan: 3·(3·3)·(3) = 81

Összesen 108, ami a fele a 216-nak, vagyis 1/2 a valószínűség.

b)

Ahogy PósánéAnita írta: 3-mal osztható, ha 3,6,9,12,15,18 az összeg.

3: 1+1+1 ez egyféleképpen lehet

6: 1+1+4 vagy 1+2+3 vagy 2+2+2, és ezek összes permutációi ... ha így folytatjuk, túl sokat kellene számolni, amit könnyű elrontani, szóval próbáljuk máshogy csinálni.

Az első kocka után teljesen azonos a valószínűsége annak, hogy hárommal osztva a maradék 0, 1 vagy 2, hisz 1-től 6-ig azonos valószínűségűek a számok, mindegyik maradékhoz két szám tartozik. Az egyes maradékok valószínűsége egyformán 1/3.

Két kocka összegénél a maradékoknak ez a valószínűsége:

(A kettőspont előtt azt írom, hogy mennyi lett az összeg maradéka, a kettőspont után pedig azokat, hogy a két kockadobásnál mik voltak a maradékok.)

0: 0+0 vagy 1+2 vagy 2+1

1: 0+1 vagy 1+0 vagy 2+2

2: 0+2 vagy 1+1 vagy 2+0

Vagyis most is mindhárom maradék ugyanannyiszor lehet, tehát továbbra is mindegyiknek 1/3 a valószínűsége.

Ha van már két dobás, akkor addig az összeg maradéka már adott. Bármilyen is ez a maradék, a harmadik dobásnak egyféle maradéka esetén lesz az összeg maradéka 0. Pl. ha az első kettő összegének a maradéka 2, akkor a harmadik dobásnak 1 kell legyen a maradéka, hogy az összegé 0 legyen, szóval osztható legyen 3-mal.

Tehát bármilyen is az első kettőnek az összege, a harmadik dobás határozza meg, hogy az összeg osztható lesz-e 3-mal. Mivel pedig mindhárom maradéknak 1/3 a valószínűsége, a 6-tal oszthatóságnak is 1/3 a valószínűsége.

c)

Itt nem tudok semmi mást kitalálni, mint hogy össze kell számolni az egyes prímszámokhoz tartozó lehetőségeket. Ebben a számolásban könnyen el lehet tévedni sajnos... erősen kell koncentrálni. Ronda feladat :)

Azért előveszek egy papírt és összeszámolom én is. Ha nem 70/216, akkor írok még majd...

2. c)

Prímek: 3,5,7,11,13,17

3: 1+1+1, ez 1-féle lehet

5: 1+1+3, ez 3-féle lehet az összes permutációjával (1+3+1 és 3+1+1 a másik 2 lehetőség)

     1+2+2, ez 3-féle lehet -"-

     más nem lehet

7: 1+1+5, ez 3-féle lehet

     1+2+4, ez 6-féle lehet (3 faktoriális)

     1+3+3, ez 3-féle lehet

     2+2+3, ez 3-féle lehet

     más nincs

11: 1+4+6, ez 6-féle lehet (3!)

       1+5+5, ez 3-féle lehet

       2+3+6, ez 6-féle lehet

       2+4+5, ez 6-féle lehet

       3+3+5, ez 3-féle lehet

       3+4+4, ez 3-féle lehet

13: 1+6+6, ez 3-féle

       2+5+6, ez 6-féle

       3+4+6, ez 6-féle

       3+5+5, ez 3-féle

       4+4+5, ez 3-féle

17: 5+6+6, ez 3-féle

Összesen: 1+3+3+3+6+3+3+6+3+6+6+3+3+3+6+6+3+3+3 = 73

Valószínűség: 73/216

Megjegyzés:

- Ha mindhárom szám különböző, akkor 6 permutáció lehet (3!). Ha két szám azonos, akkor 3 permutációja van (3!/2!). Ha mindhárom szám azonos, annak nincs több permutációja, 1-féle lehet.

- A három szám összeadásánál mindig balra írtam a kisebbeket. Szóval növekvő sorrendben. Így lehet elérni, hogy ne írjam fel ugyanazt kétszer.

Remélem, nem számoltam el...

2. c)

Mégiscsak van más megoldási mód is:

A három szám összege legfeljebb 18 lehet. Azt, hogy prím-e a szám, úgy lehet tesztelni, hogy a szám négyzetgyökéig megnézzük, hogy osztható-e azzal. Tehát most √18-ig, egészre vágva 4-ig elég megnézni. Persze csak a prímszámokkal kell nézni az oszthatóságot, vagyis csak a 2-vel meg a 3-mal.

Vagyis azok lesznek a prímszámok, amik sem 2-vel, sem 3-mal nem oszthatóak.

Ezeket viszont már összeszámoltuk:

Az összeg 2-vel osztható: 108 esetben

Az összeg 3-mal osztható: 216/3 = 72 esetben

Ha ezeket összeadjuk, lesz 180 eset. Viszont így duplán számoltuk azokat, amikor 2-vel és 3-mal is oszthatóak! Le kell tehát ebből vonni azokat, amik 6-tal oszthatóak.

A 3-mal oszthatóaknak is a fele lesz 6-tal osztható, vagyis 36 eset. Vagyis a 2-vel vagy 3-mal osztható esetek száma: 108+72-36 = 144

Amik pedig nem ilyenek, azok lesznek a prímek. Ezek száma 216-144 = 72

Ehhez még egyet hozzá kell adni, hisz a 3=1+1+1 is prímszám, de persze osztható 3-mal. Vagyis összesen 73 prím összeg lehet. (A 2 nem tud kijönni dobások összegeként, a miatt nem kell hozzáadni semmit.)

Ugyanaz jött ki így is, mint egyesével összeszámolva, ennek örülök :)