1. Mi a 2^2013+2^2012 utolsó számjegye? 2. Ha 17 osztható 5a+3b-vel, akkor melyik igaz? A) 17 osztható 12a+14b-vel b) 17 osztható 12a+31b-vel c) 17 osztható 12a-3b-vel

1. Elég az utólsó számjegyet megnézni:

3*3=9

2*2=4

Ennek összege: 13

Utólsó számjegy: 3

1)

Mattan valamit elnézhetett.

2^2013 + 2^2012 = 2·2^2012 + 2^2012 = 3·2^2012

Először 2^2012 utolsó számjegyét kell megtudni.

Nézzük a 2 hatványok utolsó számjegyét:

2¹: 2

2²: 4

2³: 8

2⁴: 6

2⁵: 2

Ilyen már volt, tehát innentől kezdve ugyanez a sorozat fog ismétlődni. A sorozat 4 hosszú (2,4,8,6). Mivel 2012 osztható 4-gyel, ezért 2^2012 utolsó számjegye ugyanaz, mint 2⁴ utolsó számjegye, vagyis 6.

Annak a háromszorosának pedig 8 az utolsó jegye.

2)

Itt valami nem stimmel, a 17 prímszám. Nem pont fordítva van írva, hogy a 17 osztja az 5a+3b-t? Vagyis nem így volt a feladatban írva?

17 | 5a+3b

és a három válaszlehetőségnél is szintén "osztja" van "osztható" helyett?

Ha így van, akkor ez a megoldás:

Egyértelmű, hogy 17 | 17a + 17b

Ha ebből levonjuk az 5a+3b-t, ezt kapjuk:

17 | (17-5)a + (17-3)b = 12a + 14b

Vagyis A) a megoldás.

Másrészt mivel 17 | 17b

ezért ha az előzőhöz hozzáadjuk ezt a 17b-t ezt kapjuk:

17 | 12a + (14+17)b = 12a + 31b

Vagyis B) is jó megoldás.

De ha ebből levonunk 2·17b-t, akkor ezt kapjuk:

17 | 12a + (31-34)b = 12a-3b

Tehát C) is jó megoldás.

Tehát mind a három megoldás.