(Gyorsan kellene válasz) Fizika házi: Valaki meg tudja mondani nekem hogy az adott pontokon mekkora a feszültség Kirchoff törvényivel megoldva?

Már eltelt néhány óra, szóval a házit valószínű lekésted, de talán érdekes lesz még a válasz így is.

Kétféleképpen oldom meg. Először tisztán a Kirchhoff törvényekkel (ez lesz szerintem az egyszerűbb), utána meg a hurokáramok módszerével (azt hiszem, ezt akarja gyakoroltatni a feladat).

Először érdemes megnézni pontosan az áramkört:

Van két csomópont (középen felül meg alul) és közöttük három ág (U1 R1 ága, U2 R2 ága, R3 ága). Az ágakban folyó áramerősséget nevezzük I1, I2 és I3-nak. Fontos az is, hogy valahogy (akárhogy) megmondjuk, hogy milyen az áramerősség feltételezett iránya:

- 1. ág: ebben van U1 és R1, I1 jobbra megy R1-en keresztül

- 2. ág: ebben van U2 és R2, I2 balra megy R2-őn keresztül

- 3. ág: ebben csak R3 van, I3 lefelé megy.

Persze lehet, hogy a végén valamelyik I negatív lesz, az csak azt jelenti, hogy rosszul tippeltük meg az áramirányt. Ez egyáltalán nem baj. Mindenesetre ezeket az áramirányokat be kell rajzolni az áramkörbe, mert ezek alapján kell majd felírni a Kirchhoff törvényeket, mármint hogy mi lesz benne pozitív és mi negatív.

A csomóponti törvény miatt I1+I2 = I3. Ez az egyik egyenletünk.

Aztán fel kell még írni két egyenletet (hiszen 3 ismeretlenünk van) két hurokra. Mondjuk legyenek az 1. és 3. ágból álló hurok (bal oldlai kis kör) valamint a 2. és 3. ágból állóak (jobb oldali kis kör).

Az ellenállásokon eső feszültségeket az Ohm törvény adja meg: R1·I1, R2·I2 és R3·I3:

-U1 + R1·I1 + R3·I3 = 0

-U2 + R2·I2 + R3·I3 = 0

(U1 meg U2 azért lett negatív, mert a kijelölt illetve feltételezett áramiránnyal ellentétes a feszültség iránya.)

Van 3 egyenletünk, benne 3 ismeretlen (I1, I2, I3), ezt meg lehet oldani. Vedd észre, hogy annyi ismeretlen van, ahány ág az áramkörben, és ugyanannyi egyenletet is kellett felírni, mint amennyi az ágak száma. Most ez nem vészes a 3 ággal, nagyobb áromkörnél viszont sok lehet (akkor jobb a hurokáramok módszere, lásd lentebb).

Akkor oldjuk meg az egyenleteket. Ha az áramerősségek mértékegysége milliamper, az ellenállásoké pedig kiloohm, akkor a feszültség volt lesz. Mindegyik ilyen, nem kell tehát átváltani semmit, lehet mértékegység nélkül írni az egyenleteket:

I1+I2 = I3

4,7·I1 + 1·I3 = 6

10·I2 + 1·I3 = 12

---- I3-at beírom az első egyenletből a másik kettőbe:

5,7·I1 + I2 = 6

I1 + 11·I2 = 12

---- I2-őt beírom az elsőből a másodikba:

I1 + 11·(6 - 5,7·I1) = 12

66 - 12 = 62,7·I1 - I1

61,7·I1 = 54

I1 = 0,875 mA

I2 = 1,011 mA

I3 = 1,886 mA

2.)

Hurokáramok módszerével:

Ennek a módszernek akkor van előnye, ha jóval nagyobb az áramkör, sok ággal és csomóponttal. Itt ugyanis egy trükkel el lehet érni, hogy ne annyi egyenlet legyen, ahány ág, hanem kevesebb: Ha az ágak száma a, a csomópontoké pedig c, akkor a-c+1 darab hurkot fogunk nézni, és ugyanennyi egyenlet kell majd.

Most ez a szám 3-2+1 = 2.

A két hurok legyen mondjuk ugyanaz a kettő, amit az előbb is néztünk. Viszont most jön a trükk: A hurkokban úgy számolunk, mintha valamilyen fix hurokáram körözne a többi huroktól függetlenül. Ez egy mesterséges dolog, valójában ilyen nincs, de könnyebbé teszi a számolást. Mivel ez nem a valódi áramerősség, nem is I-vel, hanem inkább J-vel szokták jelölni.

Legyen a bal oldali hurok árama J1, a jobb oldalié J2. Most is érdekes az irány: legyen ugyanaz, mint az előbb, szóval J1 az óramutató járásával azonos, J2 pedig ellentétes. Rajzold is be ezeket a hurkokat az áramkörbe megfelelő irányú nyilakkal (hurok-karika, végén nyíl).

Az ágakban az igazi áramerősséget majd a végén úgy kapjuk, hogy amelyik hurok átmegy az adott ágon, azokat a hurokáramokat előjelhelyesen össze kell majd adni.

A két hurokra felírva a Kirchhoff huroktörvényt: Arra kell még vigyázni, hogy minden ágnál azoknak a hurokáramoknak az előjeles eredőjét kell számolni igazi áramként (amivel az ellenállásokon eső feszültséget számoljuk), ami hurkoknak része az adott ág (ugyanígy kell majd a végén is számolni).

-U1 + R1·J1 + R3·(J1+J2) = 0

-U2 + R2·J2 + R3·(J1+J2) = 0

Most csak ez a 2 egyenlet lett. Megint, ha milliamper a J, akkor nem kell átváltani semmit:

4,7·J1 + 1·(J1+J2) = 6

10·J2 + 1·(J1+J2) = 12

---

5,7·J1 + J2 = 6

J1 + 11·J2 = 12

Véletlenül ez már ugyanaz az egyenlet, mint az előbb, nem is oldom meg újra:

J1 = 0,875 mA

J2 = 1,011 mA

Ha más hurkokat választottunk volna, akkor a hurokáram nem lett volna azonos az ágárammal, most véletlen, hogy ugyanaz. Mindenesetre az utolsó lépésként ki kell szamolni az ágáramokat:

1. ág (U1 és R1 van benne): Itt csak a J1 hurok van, tehát I1 = J1.

2. ág (U2 és R2 van benne): Itt csak a J2 hurok megy át, tehát I2 = J2

3. ág (csak R3 van benne): Itt átmegy J1 és J2 is, az eredő áram tehát ennek a kettőnek az eredője. Ebben az ágban mindkettő azonos irányú (lefelé), tehát I3 = J1+J1, sizntén lefelé.

Brr, elírtam a legvégét, persze ez a helyes:

... tehát I3 = J1+J2, szintén lefelé.