Matek háziban segítene valaki?

[link]

most kerestem ezt, felraktam és MEGOLDJA!

pl. 3) -nál x~50

De ha érdekel, hogy hogyan kellene megoldani manuálisan:

1) Amikor logaritmus van, mindig kikötéssel kell kezdeni. Csak pozitív számokon értelmezzük a logaritmust, tehát: x>1 és x>5/6, ebből az x>1 az erősebb kikötés.

Ismeretes ez az azonosság: log(a*b)=loga+logb, ebből:

log((x-1)(6x-5))=2 /zárójelbontás

log(6x^2-11x+5)=2 /átírjuk a 2-t logaritmusra.

Feltételezem, hogy ez 10-es alapú logaritmus akar lenni (bár megjegyzem, azt lg-vel szokás jelölni, a log-gal a természetes alapú logaritmust jelölik (vagy ln-nel):

log(6x^2-11x+5)=log100

A logaritmusfüggvény szigorú monotonitására hivatkozva "eltűnik" a logaritmus:

6x^2-11x+5=100, ebből 6x^2-11x-95=0

Másodfokú megoldóképlettel kijön, hogy x1=5 és x2=-19/6, de a kikötés miatt csak az x=5 a megoldás.

2) Megint kezdjünk kikötéssel: x>1 és x>0, az x>1 az erősebb kikötés.

Először írjuk át az 1-et logaritmusra: 1=log10

Itt is egy azonosságot kell használni: log(a/b)=loga-logb, tehát:

log((x-1)/9)=log((10/x))

A logaritmus szigorú monotonitása miatt

(x-1)/9=10/x /keresztbe szorzunk

x^2-x=90, ebből x^2-x-90=0

Másodfokú megoldóképletből: x1=9 és x2=-9, de a kikötés miatt csak az x=9 a jó.

3. A továbbiakban így fogom jelölni: log(a)b, ahol a a logaritmus alapja. Kezdjük megint kikötéssel: x>0

Át kell térnünk más alapú logaritmusra, hogy az előbbi azonosságokat tudjuk használni. Áttérés más alapú logaritmusra: log(a)b=(log(b)c)/(log(c)a), innen átírjuk a 4-as alapút 2-esre:

log(2)x+(log(2)x^2)/(log(2)4)=6 /*log(2)4=2

2*(log(2)x)+log(2)x^2=12

Itt is kell egy azonosságot alkalmaznunk: c*loga=log(a^c):

(log(2)x^2)+log(2)x^2=12 /azonosság

log(2)x^4=12 /12= log(2)4096

log(2)x^4=log(2)4096

A logaritmus szigorú monotonitása miatt

x^4=4096

x=+8 vagy -8, de a -8 a kikötés miatt nem megoldás, azért x=8

4) Kikötés: mint eddig is, a logaritmus argumentumában csak pozitív szám állhat, ezért x>0. Egy logaritmus alapja mindig egytől különböző pozitív szám, ezért x>0 és nem egyelő 1.

Írjuk át az x alapú logaritmus 5-ös alapúra:

log(5)x+(log(5)5/log(5)x)=5/2 /*log(5)x

log^2(5)x+log(5)5=5(log(5)x)/2 /log(5)5=2

log^2(5)x+1=5(log(5)x)/2 /*2

2log^2(5)x+2=5(log(5)x)

Használhatnánk itt is az egyik azonosságot, viszont sokkal egyszerűbb, ha másodfokú egyenletté redukáljuk: legyen log(5)x=a, ekkor:

2a^2+2=5a, ebből 2a^2-5a+2=0

Másodfokú képletből: a1=4 és a2=1/2. De itt még nem vagyunk kész, mivel x értéke a kérdés. Tudjuk, hogy log(5)x=a, ide kell visszahelyettesítenünk.

1. eset: a=2

log(5)x=2, innen x=25, ez megfelel a kikötésnek.

2. eset: a=1/2

log(5)x=1/2, innen x=gyök(5), ez is megfelel a kikötésnek.