Van valaki, aki levezetné ezeket? Fizika-sürgős!

Gyakorlatilag azt az új dolgot kell csak tudni, hogy az ellenállás egyenesen arányos a vezeték hosszával, és fordítottan arányos a keresztmetszetével. Másképp fogalmazva ez azt jelenit, hogy minél hosszabb a vezeték, annál nagyobb az ellenállása, illetve minél nagyobb a keresztmetszet, annál kisebb az ellenállás.

R = ρ·l/A

ahol ρ a fajlagos ellenállás, l a vezeték hossza (ez a kis L betű nem pedig egyes), A pedig a keresztmetszete.

A jobb olvashatóság miatt hosszként inkább nagy L-et írok ezentúl:

R = ρ·L/A

A fajlagos ellenállás mértékegységéből ezt a képletet ki lehet találni akkor is, ha elfelejtenéd:

ρ mértékegysége (ez benne van a feladatban): Ω·mm²/m

Ezt a mértékegységet szorozni kell méterrel (ami a hosszúság) és osztani négyzetmilliméterrel (ami a keresztmetszet) ahhoz, hogy ohm legyen belőle. Szóval ugyanaz a képlet jön ki így is, mint amit fent írtam.

1614.

Megvan a vezeték tömege, ebből a sűrűség ismeretében ki tudjuk számolni a térfogatát:

A sűrűség 2700 kg/m³, ami ugyanannyi, mint 2700 g/dm³. 270g ebből egyszerűen 0,1 dm³-nek adódik.

Ha hivatalosan akarjuk kiszámolni, akkor ez a képlet:

ρ = m/V

Ez a ró itt most a sűrűség. Sajnos a sűrűségnek meg a fajlagos ellenállásnak ugyanazt a jelet találták ki, ez most gondot okozhat, ha nem figyel oda az ember. Persze a kettőnek semmi köze egymáshoz.

Szóval a fenti képletből V = m/ρ = 270g / 2700 (kg/m³) = 0,0001 m³ = 0,1 dm³

Az ellenállás kiszámításához a hossz és a keresztmetszet kell, ha a fajlagos ellenállást tudjuk. A térfogat pedig pont ennek a kettőnek a szorzata:

V = A·L

Mivel a keresztmetszetet mm²-ben, a hosszat pedig m-ben érdemes számolni vezeték esetében, ezért a térfogat mértékegységét is m³ meg dm³ meg hasonló köbös dolgok helyett mm²·m-ben jobb számolni:

1 dm³ = 1 dm²·dm = 100·100 mm²·dm = 100·10 mm²·m

1 dm³ = 1000 mm²·m

Most pedig 0,1 dm³ = 100 mm²m

Ezt a két egyenletet tudjuk most:

R = ρ·L/A

V = A·L

A mértékegységek most Ω, m és mm² meg mm²·m, vagyis minden mértékegység illeszkedik, nem muszáj kiírnunk őket. Ennek ellenére biztosabb, ha kiírjuk:

0,7Ω = 0,027 Ωmm²/m · L/A

100 mm²·m = A·L

Már csak meg kell oldani az egyenletrendszert, kijön A is meg L is.

1615.

Alumíniumvezeték adatai: La és Aa

Rézvezeték adatai: Lr és Ar

A tömegük azonos:

m = ρ·V (sűrűség szorozva térfogat)

V = A·L (alapterület szorozva magasság)

Aa·La·2700 = Ar·Lr·8900

Az ellenállásuk is azonos:

R = ρ·L/A (fajlagos ellenállás szorozva hossz osztva átmérő)

0,027·La/Aa = 0,017·Lr/Ar

Csak a hosszak aránya az érdekes. Számoljuk ki például a Lr/La értékét. Ha ez nagyobb 1-nél, akkor a réz a hosszabb, ennyiszer. Ha 1-nél kisebb szám jön ki, akkor az alumínium a hosszabb, a reciprokával.

Innentől tiszta matek az egész.

Nevezzük el az arányokat valahogy:

L = Lr/La

A = Ar/Aa

Ezekkel felírva az előző egyenleteket:

2700 = (Ar/Aa)·(Lr/La)·8900

vagyis

2700 = A·L·8900

illetve

0,027·Ar/Aa = 0,017·Lr/La

vagyis

0,027·A = 0,017·L

Most már csak meg kell oldani ezt a két egyenletes egyenletrendszert.

Lesz neki egy negatív meg egy pozitív megoldása, persze a pozitív csak a jó. L értéke 1-nél kisebbre jön ki, tehát az alumíniumvezeték a hosszabb.

(Egyébként az 1614-esnél is kijön az egyenletrendszerből egy pozitív meg egy negatív gyök, és persze a pozitív csak a jó.)