Mennyi aZ |0 1 1| |0 0 1| |0 0 0| matrix 0-hoz tartozó sajátalterének a dimenziója? Hogyan kell kiszámítani, rájönni?

Az A mátrix sajátértéke λ, ha van olyan v nemnulla vektor, hogy

A·v = λ·v

Most megadták, hogy λ=0:

A·v = 0

(a jobb oldal a nulla-vektor)

Ez a fenti egy lineáris egyenletrendszer. Ha v=[x y z], akkor a jelen A mátrixszal ez lesz az egyenletrendszer:

0·x + 1·y + 1·z = 0

0·x + 0·y + 1·z = 0

0·x + 0·y + 0·z = 0

Ennek megoldása: z=0, y=0, x=bármi

Ilyen pl. az [1 0 0] vektor, és ennek minden konstans-szorosa. Másmilyen sajátvektor nem tartozik λ=0-hoz, tehát a sajátvektorok által kifeszített altér 1 dimenziós.

Mármint sajátvektorra gondoltál? Nem. Sajátvektorból most is végtelen sok van, hisz x bármi lehet.

Annyi dimenziós, amennyi a lineárisan független vektorok száma. Ez egyébként pont annyi, ahány szabad változó van az egyenletrendszer megoldásában. Az most 1 (az x).