Határozza meg az f (x, y) : ln (xˇ2+yˇ2+1) fgv. V (vektor: 1/2; gyök3/2) irányú iránymenti deriváltját a P (1;-1) pontban?

v = 1/2·i + √3/2·j

(i és j az egységvektorok az x és y irányban)

Ebből normálvektort kell csinálni. De mivel a hossza 1/2² + 3/2² = 1, ez már eleve normálva van, nem kell semmit sem csinálni.

Először ki kell számolni a fv. gradiensét:

Parciális deriváltak:

∂f/∂x = 1/(x²+y²+1)·2x

∂f/∂y = 1/(x²+y²+1)·2y

Tehát a gradiens vektor:

grad f = 2x/(x²+y²+1) · i + 2y/(x²+y²+1) · j

A v vektor irányában a derivált úgy jön ki, hogy a gradiens vektor skalárisan szorozzuk az irányvektorral (ami egységnyi hosszú)

∂f/∂v = grad f · v = 1/2·2x/(x²+y²+1) + √3/2·2y/(x²+y²+1)

= (x+y√3)/(x²+y²+1)

Ennek értéke a P(1; -1) pontban: behelyettesítünk x=1, y=-1-et:

(1+(-1)√3)/(1²+(-1)²+1) = (1-√3)/3