Mekkora a térfogata annak a téglatestnek, amelynél a 3 átlós síkmetszet területe 32 cm^2,43,5 cm^2,52 cm^32?

Legyen

Ta = 32 cm²

Tb = 43,5 cm²

Tc = 52 cm²

V = ?

----------------------

A megoldáshoz a téglatest oldalait kell meghatározni.

A felírható egyenletrendszer

a*√(b² + c²) = Ta

b*√(a² + c²) = Tb

c*√(a² + b²) = Tc

Négyzetre emelve mindkét oldalt

a²*(b² + c²) = Ta²

b²*(a² + c²) = Tb²

c²*(a² + b²) = Tc²

Legyen

a² = x

b² = y

c² = z

Ta² = A

Tb² = B

Tc² = C

Ezekkel az egyenletek

x(y + z) = A

y(x + z) = B

z(x + y) = C

Három egyenlet a három ismeretlenhez, innen már csak megoldástechnika kérdése a dolog.

Az utolsóból

z = C/(x + y)

A másik kettőbe behelyettesítve

x[y + C/(x + y)] = A

y[x + C/(x + y)] = B

Kibontva, rendezve

x[y(x + y) + C] = A(x + y)

y[x(x + y) + C] = B(x + y)

xy(x + y) + Cx = A(x + y)

xy(x + y) + Cy = B(x + y)

Az elsőből kivonva a másodikat

C(x - y) = (A - B)(x + y)

Cx - Cy = x(A - B) + y(A - B)

x[C - (A - B)] = y[C + (A - B)]

x/y = [C + (A - B)]/[C - (A - B)]

legyen

P = [C + (A - B)]/[C - (A - B)]

így

x/y = P

ill.

x = P*y

Ebbe visszahelyettesítve

xy(x + y) + Cx = A(x + y)

Py²(Py + y) + CPy = A(Py + y)

Py²*y(P + 1) + CPy = Ay(P + 1)

y-nal egyszerűsítve

Py²(P + 1) + CP = A(P + 1)

Py²(P + 1) = A(P + 1) - CP

y² = [A(P + 1)]/[P(P + 1)] - CP/[P(P + 1)]

y² = A/P - C/(P + 1)

Lássuk a konkrét értékeket

Ta = 32 cm²

Tb = 43,5 cm²

Tc = 52 cm²

P = [C + (A - B)]/[C - (A - B)]

P = [Tc² + (Ta² - Tb²)]/[Tc² - (Ta² - Tb²)]

P = (52² + 32² - 43,5²)/(52² - 32² + 43,5²)

P = 1835,75/3572,25

P = 0,51389...

y² = 32²/P - 52²/(P + 1)

y² = 206,51234...

y = 14,37053...

Mivel

y = b²

b = 3,790...

=======

x = P*y

x = 7,38490...

a² = x

a = 2,71751...

=========

z = C/(x + y)

z = C/(x + y)

z = 52²/(x + y)

z = 124,290...

Mivel

c² = z

c = 11,14857...

==========

Ezek után a válasz a feladat kérdésére:

A téglatest térfogata

V = a*b*c

V = 106,125 cm

=============

Kicsit macerás a megoldás, de az eredmények pontosak. :-)

Szívesen megnéznék egy egyszerűbb megoldást.

DeeDee

***********