Hogyan lehet másképp megoldani?

Az első feladatra gondolsz, ugye?

(x-3)^4 + (x-5)^4 = 82

Egy primitív megoldás:

Végezzük el a hatványozást:

x^4 - 4·3x³ + 6·3²x² - 4·3³x + 81 +

+ x^4 - 4·5x³ + 6·5²x² - 4·5³x + 625 = 82

Vonjunk össze:

2x^4 - 32x³ + 204x² - 608x + 624 = 0

és egyszerűsítsünk 2-vel:

x^4 - 16x³ + 102x² - 304x + 312 = 0

Ezt a negyedfokú polinomot szorzattá kellene alakítani, hogy az egyenlet (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=0 alakú legyen.

Ha feltételezzük, hogy egész számok a gyökök, akkor azok abszolút értékei a 312 osztói között kell legyenek, ugyanis a·b·c·d adja a 312-t.

(Valójában ehhez nem is kellett volna előállítani a teljes negyedfokú polinomot, hisz a konstans tagot gyorsabban is tudjuk:

3^4 + 5^4 - 82 = 624

Csak azt nem tudjuk így első ránézésre, hogy lehet kettővel egyszerűsíteni... kicsit tovább kell hozzá nézni. Viszont a polinomra úgyis szükség lesz még.)

Szóval 312 prímtényezői ezek:

312 | 2

156 | 2

78 | 2

39 | 3

13 | 13

És most jön a primitívség: Ki kell próbálni mindent (pluszban és minuszban is), hátha valamelyik osztó gyök.

Nézzük a 2-t: (2-3)^4 + (2-5)^4 = 1 + 81 = 82, ez jó.

A -2 illetve minden negatív ránézésre látszik, hogy nem jó, túl sok lenne

x=3: (3-3)^4 + (3-5)^4 = 2^4, kevés

x=4: (4-3)^4 + (4-5)^4 = 1+1, kevés

x=6: (6-3)^4 + (6-5)^4 = 81+1, ez is jó!

Ha már csak kettő gyök hiányzik, akkor érdemesebb a próbálgatás helyett polinomosztással másodfokú egyenletet csinálni. Az eddigi gyökökkel megvagyunk addig, hogy (x-2)(x-6) benne van a szorzat alakban.

(x-2)(x-6) = x² - 8x + 12

Ezzel kell osztani:

x^4 - 16x³ + 102x² - 304x + 312 : x² - 8x + 12

Ezt a polinomosztást itt nem vezetem le, papíron könnyebb, ide a gépbe nem könnyű láthatóan beírni. Gyakorlatilag ugyanúgy kell csinálni, ahogy két nagy számot papíron eloszt az ember. Az eredménye ennyi:

x² - 8x + 26

Vagyis eddig a szorzattá alakított egyenlet ez:

(x-2)(x-6)(x²-8x+26) = 0

Ki kell még számolni az x²-8x+26=0 gyökeit. A diszkrimináns 64-4·26 negatív, tehát nincs több valós megoldás.

Ez a módszer persze csak akkor jó, ha lesznek egész gyökök.