Ki segit matekbol?

Pillanatnyilag annyit tudok segíteni, hogy egy böngésző programmal elérhető, dinamikus ábrát készítettem, és közzétettem itt:

[link]

Ötletadáshoz, hipotézisek ellenőrzéséhez, azt hiszem jól használható.

Érdekes feladat! :-)

Legyen

AB = a

AD = b

AM=BN=CP=DQ = x

Tt = a*b - a téglalap területe

Tp - a paralelogramma területe

Tp(min) = (2/5)*Tt

AD<AB<3AD feltétel a fenti jelölésekkel

b < a < 3b

b- vel osztva az egyenlőtlenséget adódik, hogy

1 < a/b < 3

Az

a/b = k jelölést bevezetve

1 < k < 3

A feladat

Adott Tp(min) esetén

k = ?

*********

A paralelogramma területe = a téglalap területéből levonva a a négy, páronként egybevágó derékszögű háromszög területének összege, vagyis

Tp = a*b - [x(a - x) + x(b - x)]

Tp = a*b - x(a - x + b - x)

Tp = a*b - x(a + b - 2x)

A zárójelet felbontva

Tp = a*b - x(a + b) + 2x²

Az ismeretlen szerint rendezve

Tp = 2x² - x(a + b) + a*b

A minimuma ott van, ahol az első derivált nulla, vagyis

Tp' = 4x - (a + b) = 0

ebből

x = (a + b)/4

(Majd valaki megmutatja, hogy lehet a parabola minimumát másképp meghatározni, nekem a derivált szimpatikusabb. :-) )

Az eredményt a területképletbe visszahelyettesítve megkapjuk a minimális területet

Tp(min) = a*b - x(a + b - 2x)

Tp(min) = a*b - [(a + b)/4][(a + b) - 2*(a + b)/4]

Összevonás után

Tp(min) = a*b - (a + b)²/8

A feladat szerint

Tp(min) = (2/5)a*b

vagyis

a*b - (a + b)²/8 = (2/5)a*b

a*b - (2/5)ab = (a + b)²/8

(3/5)ab = (a + b)²/8

átrendezve

24/5 = (a + b)²/(a*b)

Az oldalak arányát behelyettesítve

24/5 = (k*b + b)²/(k*b*b)

Egyszerűsítés után

24/5 = (k + 1)²/k

A zárójelet felbontása és a törtek eltüntetése után az

5k² - 14k + 5 = 0

másodfokú egyenlet marad, melynek gyökei

k1 = (7 + 2√6)/5

k2 = (7 - 2√6)/5

Mivel a feladat szerint

1 < k < 3

értéket keresünk, a második gyök kiesik (k2 < 1), ezért a feladat megoldása

k = a/b = (7 + 2√6)/5

================

DeeDee

***********