Mennyi az E=2X/ (3Y+4Z) +3Y/ (4Z+2X) +4Z/ (2X+3Y) kifejezés legkisebb értéke, ha x, y, z szigorúan pozitív valós számok?

Ha középiskolás feladat, akkor nem tanultatok még parciális deriválást. Meg lehet oldani a nélkül is.

A jobb átláthatóság miatt vezessünk be új változókat: Legyen x'=2x, y'=3y, z'=4z. Ezek mind pozitívak.

E = x'/(y'+z') + y'/(z'+x') + z'/(x'+y')

Most már látványra is minden szimmetrikus.

Az ilyen feladatokat sokszor a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséggel lehet megcsinálni. Próbáltam azzal is, de nekem nem ment (attól még lehet, hogy valakinek sikerül...). Ez egy bonyolultabb megoldás lesz sajnos.

Az a tippem, hogy akkor minimális E értéke, ha x'=y'=z'. Ekkor E=3/2.

Az általánosság feladása nélkül feltehetjük (hisz minden szimmetrikus), hogy x' a legkisebb a változók között:

x' ≤ y'

x' ≤ z'

Vezessük be most már a végleges változókat így:

x' = a

y' = a+b

z' = a+c

Mindhárom új változó pozitív, b és c nulla is lehet.

E = a/(2a+b+c) + (a+b)/(2a+c) + (a+c)/(2a+b)

Ha tényleg igaz, hogy E minimuma 3/2, vonjunk ki belőle 3/2-et és azt kell belátnunk, hogy a maradék nem negatív.

F = E-3/2

Osszuk háromfelé ezt a kivonást, vagyis mindhárom tagból vonjunk ki 1/2-et. Először érdemes kibővíteni őket 2-vel:

F = 2a/(2(2a+b+c)) - 1/2 + (2a+2b)/(2(2a+c)) - 1/2 + (2a+2c)/(2(2a+b)) - 1/2

F = (2a -2a-b-c)/(2(2a+b+c)) + (2a+2b -2a-c)/(2(2a+c)) + (2a+2c -2a-b)/(2(2a+b))

F = (-b-c)/(2(2a+b+c)) + (2b-c)/(2(2a+c)) + (2c-b)/(2(2a+b))

Hozzuk közös nevezőre:

F = Sz/N

A közös nevező a nevezők szorzatának a negyede:

N = 2(2a+b+c)(2a+c)(2a+b)

A számláló pedig ez:

Sz = (-b-c)((2a+c)(2a+b)) + (2b-c)(2a+b+c)(2a+b) + (2c-b)(2a+b+c)(2a+c)

Sz = (b+c)(-4a²-2a(b+c)-bc) + (2b-c)(4a²+2a(2b+c)+b(b+c)) + (2c-b)(4a²+2a(b+2c)+c(b+c))

Az 'a'-t tartalmazó tagokat csoportosítsuk külön, nevezzük Sz1-nek, a többit Sz2-nek:

Sz = Sz1+Sz2

Eleve úgy írjuk fel Sz1-et, hogy emeljünk ki 2a-t:

Sz1 = 2a( -2a(b+c)-(b+c)² + 2a(2b-c)+(4b²-c²) + 2a(2c-b)+(4c²-b²) )

Sz2 = -bc(b+c) + b(b+c)(2b-c) +c(b+c)(2c-b)

Az Sz2-ből kiemelhetünk (b+c)-t:

Sz2 = (b+c)(-bc + 2b²-bc + 2c²-bc) = 2(b+c)(b²-1,5·bc+c²)

Ez már elég szimpatikus, csak az Sz1-et kell tovább variálni. Végezzük el a szorzásokat és vonjunk össze:

Sz1 = 2a(-2ab-2ac-(b+c)²+4ab-2ac+(3b²+3c²)+4ac-2ab)

Sz1 = 2a(2b²-2bc+2c²)

Sz1 = 4a(b²-bc+c²)

Most már a végén vagyunk. Még egy kis teljes négyzetté alakítás:

Sz1 = 4a·( (b-c)² + bc )

Sz2 = 2(b+c)·( (b-c)² + bc/2 )

N = 2(2a+b+c)(2a+c)(2a+b)

A nevező pozitív, a két számláló-darab sizntén, hiszen (b-c)² biztos nem lehet negatív, máshol meg nincs kivonás. Vagys F≥0, tehát E minimuma 3/2, ahogy tippeltük.

Egy másféle megközelítés, elismerve bongolo gondolatmenetét és levezetését.

Ha a 2x, 3y, 4z értékeket egy háromszög három oldalának tekintjük (mindegyik pozitív valós szám), vagyis

a = 2x

b = 3y

c = 4z

akkor az E kifejezés tagjai a háromszög szögfelezőinek osztó tényezői (saját elnevezés).

Az értelmezéshez itt a rajz

[link]

A három osztó tényező összege akkor a legkisebb, ha egyenlő oldalú háromszögről van szó.

Ekkor

λa = λb = λc = 1/2

így az összegük

E = 3/2

======

Az osztó tényezők közötti általánosan érvényes összefüggés a rajzon bekeretezve látható egyenlőség.

DeeDee

**********

bongolo: 1. vagyok; igy van, talan me'g sokkal konnyebb is atdolgozni szimmetrikus formara es csoportositani, mint differencialni.

En pl a kov. helyettesitest hasznalnam:

a = 3y + 4z

b = 2x + 4z

c = 2x + 3y

Tovabba, ha E-nek minimuma van, akkor 2E + 6 - nak is:

2E + 6 = (a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c)

(itt atugrottam egy par lepest)

Ennek a kifejezesnek pedig a minimuma 9, vagyis:

min(2E + 6) = 9

min(E) = 3/2