Egy fogyasztó hasznossági függvénye U=x1^0,75*x2^0,25 alakban írható fel. M=1000, p1=5, p2=10. opt. Jószágkombináció? (x1=? , x2=? ) ;1. termék keresletének egyenlete x1p1=? ;az 1. termék keresletének árrugalmassága abszolút értékben a p1=5 pontban?

U=x1^0,75*x2^0,25 -->célfüggvény, maximalizálni kell.

p1*x1+p2*x2=M -->ez a korlát.

Felírod a Lagrande-függvényt:

F=x1^0,75*x2^0,25-L(5x1+10x2-1000)

Lambdát most L-el jelöltem, a -1000 meg azért van ott, mert a korlát egyenletét 0-ra kell rendezni.

(Írott L-el szokás jelölni a függvényt, most F-t írtam, hogy ne kavarodjon össze a másik L-el)

Lagrange függvényt deriválod x1, x2, L szerint mindhárom deriváltnak 0-nak kell lennie.

(L szerinti derivált ugye maga a korlát lesz.)

dF/dx1 = 0,75*x1^(-0,25)*x2^0,25-5L=0

dF/dx2 = 0,25*x2^(-0,75)*x1^0,75-10L=0

5x1+10x2-1000=0

Ez 3 egyenlet 3 ismeretlennel, csak meg kell oldani.

Ezt átalakítva:

0,75*x1^(-0,25)*x2^0,25-5L=0

0,75*x1^(-0,25)*x2^0,25=5L

0,75*x1^(-0,25)*x2^0,25=5L

x1^(-0,25)*x2^0,25=6,67L

(x2/x1)^0,25=6,67L

L=0,15*(x2/x1)^0,25

A 2-at ugyanígy átalakítva:

(x1/x2)^0,75=40L

L helyére beírom:

(x1/x2)^0,75=40*0,15*(x2/x1)^0,25 /osztva (x2/x1)^0,25=(x1/x2)^(-0,25)-el

x1/x2=6

x1=6x2

Beírva a költségvetési korlátba:

5x1+10x2=1000

30x2+10x2=1000

x2=25

x1=150

Ez az opt. jószágkombináció.

x1=6x2 mindig, ehhez nem kellett az árat belevenni. Ebből le lehet vezetni a keresleti függvényt (M és p2 állandósága mellett)

p1*x1+10x2=1000 /x2 helyére beírom, hogy x1/6

p1*x1+10*x1/6=1000

x1*(p1+5/3)=1000

x1=1000/(1,67+p1)

Ez az x1(p1) kereslet függvény.

Az árrugalmasság

x1(p1) függvény deriváltja szorozva p0/f(p0)

[link]

(De ez biztos benne van a könyvedben)

Akkor deriváljunk:

x1=1000/(1,67+p1)=1000*(1,67+p1)^(-1)

1000*(-1)*(1,67+p1)^(-2)=-1000/(1,67+p1)^2

rugalmasság:

-1000/(1,67+p0)^2*p0/[1000/(1,67+p0)]

p0=5-öt beírva:

-1000/(6,67)^2*5/[1000/6,67]=

-5000/44,489/[150]=-0,75

Az a baj, hogy ilyet már rég csináltam. De valszeg ezt ki se kellett volna számolni, mert C-D függvénynél speciális a rugalmasság és éppen a kitevő.

Már nem emlékszem, olvasd el a könyvedben, hogy mit ír erről.

(Lehet, hogy így a jó -0,75, de lehet, hogy +0,75-nek kéne kijönnie, bocsi erre tényleg nem emlékszem.)