Tudnátok segíteni matematikából?

Ugyanaz vagy, aki ezt kerdezte?

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

Ott irtam egy megoldast, de van tobb is.

Odáig érted, hogy ha 1/2-től kiindulva mindig az utolsó szám felét hozzáadjuk, akkor egyre jobban megközelítjük az 1-et, de mindig lesz még egy kis maradék?

Pl. az 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 összeg éppen 1/32-del kevesebb 1-nél.

Ezek a számok a 2 hatványainak a reciprokai. Ha az első 2010 ilyen kettő-hatvány reciprokot adjuk össze, akkor az utolsó szám, amit hozzáadtunk, az 1/2^2010 (kettő a kétezertizediken reciproka). Az összeg pedig éppen ennyivel lesz kevesebb 1-nél.

Ez idáig tiszta? Ha nem, gondolj a falióra számlapjára, felezgessed, hogy a nagymutató éppen meddig ment el. (Először fél órát ment, aztán negyedet háromnegyedig, stb.)

Leírom neked n=8 tagra:

2,4,8,16,32,64,3*32,6*32

Ez 8 különböző szám, reciprokaik összege 1. Általánosan:

2,2^2,...,2^(n-2),3*2^(n-3),6*2^(n-3).

Kérdező 19:45-ös levelére:

- Egyrészt nem 1/2012, hanem 1/2^2012, szóval kettő a kétezertizenkettediken.

- Másrészt nem kell elmenni 2^2012-ig, csak 2^2010-ig. Akkor van 2010 darab számunk, amik reciprokainak az összege kicsit kisebb 1-nél, pont 1/2^2010 a hiány. És most hozzáteszünk még 2 számot (így lesz 2012 darab), ezeket:

1/(3·2^2009) + 1/(6·2^2009)

Ezek összege ennyi: 1/2^2009·(1/3+1/6)

ami pont 1/2^2010. Így az összeg 1 lesz.

----

Lehet teljesen mást is csinálni az 1/2 = 1/3 + 1/6 összefüggés egy további variálásával:

1 = 1/2 + 1/3 + 1/6

1/n = 1/(2n) + 1/(3n) + 1/(6n)

Kiindulunk abból a reciprokösszegből, hogy 1/2 + 1/2.

Ez az összeg 1. Most még két azonos szám reciprokának az összege, de ez nem lesz gond.

Most lecseréljük az utolsó reciprokot a fenti összefüggés szerint 3 szám reciprokösszegére: 1/2 = 1/4 + 1/6 + 1/12

A teljes összeg pedig ez lesz: 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12

Az összeg továbbra is 1, de most már 2-vel több számunk van.

Aztán megint lecseréljük az utolsót: 1/12 = 1/24 + 1/36 + 1/72

A teljes összeg pedig ez lesz: 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/24 + 1/36 + 1/72

Minden lépésben 2-vel nő a reciprokok száma, el fogunk jutni a 2012 darab számig is.

----

Vagy fel lehet ezt az összefüggést is használni:

1/n = 1/(n+1) + 1/(n·(n+1))

Ellenőrizd le, hogy tényleg teljesül-e.

Ezzel pedig úgy tudunk dolgozni, hogy mondjuk kiindulunk egyetlen egy számból, ami az 1, ennek "reciprokösszege" természetesen 1/1 vagyis 1.

Aztán lecseréljük ezt az 1/1-et a fenti képlet szerint 2 tört összegére:

1/(1+1) + 1/(1·(1+1)) vagyis 1/2 + 1/2

Aztán kiválasztjuk mondjuk az utolsó reciprokot, és azt is lecseréljük két reciprok összegére ugyanazzal a képlettel: 1/2 = 1/(2+1) + 1/(2·(2+1))

Most már 3 reciprokunk van:

1/2 + 1/3 + 1/6

Megint vesszük a legkisebbet (1/6), és lecseréljük két másikra: 1/6 = 1/(6+1) + 1/(6·(6+1))

Most már 4 reciprokunk van:

1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42

Aztán az 1/42 helyett is beírunk két másikat a képlet szerint:

1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806

stb.

Ezeknek az összege természetesen mindig 1, és mivel minden lépésben eggyel nő a reciprokok száma, el fogunk érni oda is, hogy pont 2012 darab lesz.

----

Aztán a fenti módszereket (meg még biztos van más is) kis odafigyeléssel gyakorlatilag akárhogy tudjuk kombinálni, szóval jó sokféle módon lehet pontosan 2012 darab különböző szám reciprokának összegével előállítani az 1-et.