MATEK segítség? Data hu/get/5098585/Feladatsor.2012.1.2. pdf (data után ". " kell)

Az első három példában nincs meg, hogy mi akar lenni a Tn. A nélkül nem lehet megoldani. Ráadásul a harmadikban a szumma k-tól n-ig megy és k nincs a jobb oldalon, itt valami nem stimmel.

---

4.

A tétel:

szumma k=1-től n-ig

Σk·k! = (n+1)!-1

Teljes indukciós bizonyítás:

n=1 esetén:

Bal oldal: 1·1! = 1

Jobb oldal: (1+1)!-1 = 2·1-1 = 1

Teljesül a tétel.

Indukciós feltevés: n-re igaz a fent kiírt azonosság.

n+1-re ilyen az alakja:

szumma k=1-től n+1-ig

Σk·k! = (n+2)!-1

Ezt kellene igazolnunk.

A bal oldalon a szummából bontsuk külön az n+1-edig tagot. Ezzel a bal oldal ez lesz, a szumma k=1-től n-ig megy:

(n+1)·(n+1)! + Σk·k!

Az indukciós feltevés szerint itt a szummás tag azonos (n+1)!-1-gyel. Tehát a bal oldal ilyen:

(n+1)·(n+1)! + (n+1)!-1

= (n+1+1)(n+1)! - 1

= (n+2)(n+1)! - 1

= (n+2)!-1

Vagyis ki tudtuk fejezni a bal oldalból a kívánt jobb oldalt. Tehát beláttuk, hogy az indukciós feltételből levezethető volt az azonosság n+1-re is. Ezzel az eredeti tétel igazolódott.

5.

Ez sem teljes feladat, valószínű lehagytad azt, hogy n≥2 esetére kell csak bebizonyítani.

A szumma k=1-től n-ig megy

Σ 1/(n+k) > 13/24

Vezessük be az S(n) jelölést a fenti szummára, vagyis amikor a szumma k=1-től n-ig megy.

Tehát az bizonyítandó, hogy

S(n) > 13/24

Ez n=1 esetén nem teljesül, mert a bal oldal 1/2, ami csak 12/24.

n=2 esetén teljesül:

1/(2+1) + 1/(2+2) = 1/3 + 1/4 = 8/24 + 6/24 = 14/24

ami tényleg nagyobb, mint 13/24.

Indukciós feltevés: n-re igaz az állítás.

n-re a bal oldali szumma kibontásával az indukciós feltevés ez lesz:

S(n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/(n+n) > 13/24

Be akarjuk látni, hogy n+1-re igaz az állítás, vagyis ez (megint csak kibontva a szummát):

S(n+1) = 1/(n+1+1) + 1/(n+1+2) + 1/(n+1+3) + ... + 1/(n+1+n+1) > 13/24

Az egyenlőtlenség bal oldala ilyen:

S(n+1) = 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/(n+n) + 1/(n+n+1) + 1/(n+n+2)

Az utolsó két tag kivételével ez nagyon hasonlít S(n)-re:

S(n+1) = S(n) - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)

= S(n) - 2/(2n+2) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)

= S(n) - 1/(2n+2) + 1/(2n+1)

Ez nagyobb, mint S(n), mert 2n+1 reciproka nagyobb, mint 2n+2 reciproka.

Tehát azt kaptuk, hogy S(n+1) > S(n)

Mivel az indukciós feltevés miatt S(n) > 13/24, ezért S(n+1) is nagyobb nála, tehát az S(n+1)>13/24 állítást bebizonyítottuk. Ezáltal az eredeti állítást is bebizonyítottuk teljes indukcióval.