Igazoljuk, hogy az x^2+y^2-10x-6y-2=0 egyenlet kör egyenlete. Írjuk fel az adott körrel koncentrikus kör egyenletét, ha áthalad P (2;4) ponton. Segítene valaki nekem?

x²+y²-10x-6y-2 = 0

x²-10x +y²-6y = 2

(x-5)²-25 + (y-3)²-9 = 2

(x-5)² + (y-3)² = 2+25+9

(x-5)² + (y-3)² = 6²

Vagyis ez egy kör, aminek (5;3) a középpontja és 6 a sugara.

Vele koncentrikus körök:

(x-5)² + (y-3)² = r²

Ha a (2;4) pont rajta van a körön, akkor x=2 y=4 behelyettesítéssel teljesül a fenti egyenlet:

(2-5)² + (4-3)² = r²

9 + 1 = r²

r = √10

Vagyis a koncentrikus kör egyenlete:

(x-5)² + (y-3)² = 10

Az eredeti kör egyenlete:

(x-u)^2+(y-v)^2=r^2

Fölbontva:

x^2-2ux+u^2+y^2-2vy+v^2=r^2

Az egyenletben -10x szerepel, vagyis u=5

És -6y-ból v=3

Vagyis a kör középpontja: (5,3)

A koncentrikus kör középpontja ugyanez. Vagyis

(x-5)^2+(y-3)^2=R^2

Még R-t kell kiszámolni, ami OP távolság négyzete:

P(2,4)

O(5,3)

OP(-3,1)

OP^2=9+1=10

A kör egyenlete:

(x-5)^2+(y-3)^2=10