Hogy igazoljam teljes indukcióval az alábbi feladatot?

Direktben könnyű bizonyítani:

k megy 1-től n-ig:

Σ√k ≤ Σ√n = n·√n ≤ n²

(vagyis mindegyik k helyébe a nála nagyobb n-et tettem)

Az egyenlőség csak n=1 esetén áll fenn, szóval ha n≥2, akkor sokkal erősebb állítás is tehető.

Azt, hogy teljes indukcióval hogyan lehetne bizonyítani az eredeti állítást, nem tudom. Erőltetett dolog itt teljes indukciót csinálni. Egy erősebb tételt tudok teljes indukcióval is bizonyítani, szóval ha nagyon muszáj, csinálhatod ezt, de ez is erőltetett:

Az erősebb állítás:

k megy 1-től n-ig, n≥2

S(n) = Σ√k < n^(3/2) (ami kisebb, mint n²)

(Ez valójában ugyanaz az állítás, mint amit fentebb direktben is bizonyítottam, hisz n^(3/2) = n·√n)

n=2-re igaz, mert S(2) = 1+√2 < 2·√2

feltesszük, hogy n-re igaz, tehát

S(n) = Σⁿ√k < n·√n

(a felső index n akarja jelenteni azt, hogy a szummázás 1-től n-ig megy)

Nézzük meg, mi van n+1-nél. Az összeg ennyi:

S(n+1) = S(n) + √(n+1)

Mivel az indukciós feltevés miatt S(n) < n√n:

S(n+1) < n·√n + √(n+1)

Mivel √n < √(n+1):

S(n+1) < n·√(n+1) + √(n+1) = (n+1)·√(n+1)

Ez pedig éppen az, amit bizonyítanunk kellett, készen vagyunk.