Síkgeometria - mekkora a körszelethez tartozó húr- és magassághossz?

A körlap jobb felső negyedébe eső zöld területet (ami a teljes zöld terület negyede) ki tudjuk számolni integrálással.

Képzelj a kör középpontjába egy koordináta-tengelyt. Legyen az ω szög az a szög, ami az origóból az ábrádon a jobb oldali R betűhöz megy. (Magyarul a zöld színű körcikk középponti szöge 2ω.)

cos ω = (L/2)/R

sin ω = (R-h)/R

(ahol R=D/2 persze)

Minden α szögre igaz, hogy ezek a koordináták tartoznak hozzá:

x = R·cos α

y = R·sin α

A jobb oldali zöld terület felső felének az integrálásához kell először az x-szel számolnunk:

x = R·cos α

deriváljuk α szerint:

dx/dα = -R·sin(α)

dx = -R·sin(α)·dα

(A negatív előjelet a továbbiakban elhagyom, az nem számít a mi esetünkben. Csak azért negatív, mert fordított irányban integráljuk össze a területet...)

Az integrálás α = 0-tól ω-ig megy:

T = ∫y·dx

T = ∫R·sin(α)·dx

T = ∫R·sin(α)·R·sin(α)·dα

T = R²·∫sin²α dα

A primitív függvény: α/2-sin(2α)/4+C

Vagyis a határozott integrál 0-tól ω-ig:

T = R²/2·(ω-sin(2ω))

Vagyis a teljes zöld terület (T négyszerese):

2·R²(ω-sin(2ω))

Most már csak az ω-t kell kitalálni a területedhez:

2·0.9²·(ω-sin(2ω)) = 0.941535

Ez nem túl egyszerű, úgyhogy használjuk a Wolfram-ot:

[link]

ω = 1,22262 (radián)

Most már kijönnek az adatok, ami érdekel:

L = 2·R·cos ω = 0,6141 m

h = R - R·sin ω = 0,054 m

Picit belerontott a GYK.hu a képletbe:

Ahol az van, hogy d^ a következő sorban meg 5;

Ott az valójában dα kell legyen.

Sajnos a GYK nem szereti, ha sok görög betű meg speciális jel van egy sorban...

Érdekes feladat, de zárt megoldás sajnos nem adható.

Lásd

[link]

Legyen

T0 - a kör területe

t - egy körszelet területe

T - a kék terület

Ezekkel

T0 = T + 2t

ebből

2t = T0 - T

Ha a körszeletek összterülete és a középen levő (kék) terület is adott, akkor a következőt csinálnám:

legyen

q = T/T0

vagyis a középső és a teljes terület hányadosa.

Ezzel

T = q*T0

így a körszeletek területe

2t = T0 - q*T0

2t = T0(1 - q)

Beírva a kör területét

(1) 2t = R²π(1 - q)

A körszeletek területe a geometriából

t = R²*2α/2 - R²*sinα*cosα/2

A második tag számlálóját, nevezőjét kettővel szorozva és R²/2-t kiemelve

t = R²/2(2α - sin2α)

ill

2t = R²(2α - sin2α)

ha 2α = φ

(2) 2t = R²(φ - sinφ)

Az (1) és (2) egyenletek egyenlőségéből

R²π(1 - q) = R²(φ - sinφ)

Egyszerűsítés után

π(1 - q) = φ - sinφ

A bal oldal ismert mennyiségekből áll, a jobb oldalt valamilyen közelítéses eljárással lehet meghatározni.

Lehet programot írni rá, lehet táblázatba foglalni pl. fokonként az értékeket, stb., jobbat nem tudok ajánlani.

Ha a φ értéke megvan, akkor

α = φ/2

és

L = 2R*sinα

==========

ill.

h = R(1 - cosα)

============

Egyébként az általad megadott értékekkel

q = 0,67

és

110 < φ < 120

adódik, amit pár közelítéssel kellően pontossá lehet tenni.

Ha valami kérdésed van, állok rendelkezésedre. :-)

DeeDee

**********

Egy elírás

q = 0,63

A φ értéke 117 és 118 között van.

DeeDee csinálta jól, én romtottam el az elejét (meg a végét is ezek után). A közepe jó az enyémnek is.

Valószínű azért ronthattam el, mert eredetileg 90°-tól visszafelé jobbra akartam csinálni, mert úgy logikusabb az integrálás, és annál a szögnél úgy alakul a sin meg cos, ahogy írtam. Végül aztán átírtam mindent a szokásos szögekre, csak épp a legelejét elfelejtettem átírni :(

Egyébkent az integrálásra visszatérve, ha már írok: Miután elküldtem, rájöttem, hogy nem kell ide integrálás, egyszerűbben is kijön. Pont úgy, ahogy DeeDee közben már megírta. Szóval inkább az ő megoldását nézzed.

Dehogy jó az enyémnek a közepe se! Brrrr....

A primitív fv még jó, de utána is beleraktam egy hibát. Ez a jó:

T = R²/2·(ω-sin(2ω)/2)

A négyszerese pedig (vagyis a zöld terület):

R²(2ω-sin(2ω))

DeeDee-nek is ez jött ki, mondom, az a jó :)

A befejezéshez viszont tényleg a WolframAlpha-t javaslom használni. Ezt az egyenletet kell tehát megoldanod az adataiddal:

0,9²·(2ω-sin(2ω)) = 0,941535

A Wolfram ezt így oldja meg: (tizedespontokat kell írni a vessző helyett!)

[link]

ω = 1,02491 radián

ami egyébként 58,723°. DeeDee közelítő eredménye 58.75° volt (117,5 fele), szóval egész pontosra kijött neki.

L = 2R*sin ω = 1,5384 m

h = R(1-cos ω) = 0,4327 m