Hogy tudnám megoldani ezt a feladatot?

A feladat tehat azt bizonyitani, hogy:

√(a^2 + (1-b)^2) + √(b^2 + (1-c)^2) + √(c^2 +(1-a)^2) ≥ 3/√2

Legyen f(x,y) = √(x^2 + (1-y)^2)

amirol konnyen lathato, hogy a felulet feletti tartomany konvex, vagyis:

(√(a^2 + (1-b)^2) + √(b^2 + (1-c)^2) + √(c^2 +(1-a)^2))≥ 3*√(((a+b+c)/3)^2 + (1-(a+b+c)/3 ) ^2)

3*√((a+b+c)^2 + 9 - 6(a+b+c) +(a+b+c)^2) /3

a+b+c=d jelolessel

= √(2d^2 - 6d + 9)/3 = √( 2(d-3/2)^2 + 9/2) ≥

≥ √(9/2) = 3/√2

Megoldottam egyszerűen, nem kell ide nagyágyú!

Ismered a négyzetes és számtani közép közötti egyenlőtlenséget:

[link]

Ezt alkalmazd háromszor két-két számra!

Először a és 1-b esetére, aztán b és 1-c esetére, aztán c és 1-a esetére.

A kapott három egyenlőtlenséget add össze, aztán szorozd meg gyök2-vel és kész.

Megjegyzések:

1. A középértéktétel igazolása két számra nem nehéz, kilencedikes szinten is megy. Bár a négyzetes közepet nem értelmezzük negatívakra, de azért az az egyenlőtlenség igaz rájuk.

2. Egyenlőség akkor van, ha mindhárom egyenlőtlenségnél egyenlőség áll fenn a benne szereplő két szám között, azaz a=1-b és b=1-c és c= 1-a.

Ezt az egyenletrendszert megoldva a=b=c=0,5 adódik.