Hogyan érdemes a dőlő létráról leugrani? (leugrasz, eldőlsz a létrával vagy mind1) Mekkora erőhatás ha puha homokba illetve betonra érkezünk? Ahol a létra 10 kg a tömeg a saját tömeged. Számítással igazold!

létra: m=10kg, hossza L

ember: M=70kg (mondjuk), pontszerűnek veszem

Ha nem 70 kilo vagy, számold át mással.

Kezdetben a rendszernek van egy helyzeti energiája. A létra tömegközéppontja L/2-nél van, az emberé nagyjából L magasan, ezért az energia:

E = m·g·L/2 + M·g·L = 750N·L

Ha rajta maradsz, vagyis végig fogod a létrát, akkor érdemes kiszámolni a rendszer tehetetlenségi nyomatékát:

Θ = m·L²/3 + M·L² = (m/3+M)·L² = 73,33kg·L²

Amikor leér a földre, akkor a mozgási energia:

E = 1/2·Θ·ω²

ugyanannyi, mint a kezdeti helyzeti energia.

ω = √(2E/Θ) = √(1500N·L/(73,33kg·L²)) = √(20,45m/s² / L)

Az ember sebessége ω·L lesz:

v = ω·L = √(20,45 m/s²·L)

Az ember mozgási energiája:

E = 1/2·M·v² = 35·20,45·L = 716·L

Ha pedig csak elereszti az ember a létrát, ami ledől oldalt, az ember pedig leesik simán függőlegesen:

Az ember kezdeti helyzeti energiája megegyezik a végső mozgási energiájával:

E = M·g·L = 700·L

Vagyis ilyenkor kisebb energiával csapódik a földbe! Szóval érdemesebb elereszteni a létrát.

Megjegyzés: Ha szó szerint leugrasz a létráról, akkor kicsit máshogy alakulnak az energiaviszonyok. Akkor a létráról rugaszkodsz el, ezért a létra sebessége nagyobb lesz, de a tied is a másik irányban. Ilyenkor az impulzusmegmaradással kellene kiszámolni a sebességeket. A pontos érték mindegy is, a lényeg csak az, hogy akkor az ember kezdeti energiája a helyzeti energia plusz az elrugaszkodás mozgási energiája lesz, összességében több, mint az előbb számolt 700·L érték. A becsapódás energiája ilyenkor is megegyezik a kezdeti energiával, de ekkor kicsit kisebb lenne a különbség a leugrás illetve az ott maradás között. (Megfordulni talán nem fordulna meg a helyzet.)

A másik kérdés volt az erőhatás. Ezt nehéz számolni adatok nélkül, de a lényeg egyszerű. Homok esetén sokkal hosszabb idő alatt lassul le az ember 0 sebességre, mint betonnál, mert a homok nem merev. Az erő pedig a lassulástól függ (fizikában gyorsulásnak hívjuk, csak negatív):

F = M·a

Vagyis beton esetén sokkal nagyobb az erőhatás.