Ennek hogyan kezdjek neki? (matek fv. Analízis)

f(x) = (4x^3 - 9x^2) / (9(x-2)^3 )

a)

Alakitsuk f((x)-et hasznalhatobb alakra: osszuk el a szamlalot is meg a nevezot is a nevezo legnagyobb hatvanyu tagjaval:

f(x) = (4x^3 - 9x^2) /(9x^3 - 54x^2+108x-72) =

(vagyis x^3-bel osztunk)

=(4 - 9/x) / (9 -54/x+108/x^2 - 72/x^3 )

Az lathato, hogy ha x tart vegtelenbe,

akkor a szamlalo 4-hez, a nevezo pedig 9-hez tart,

f(x) -> 4/9

Az elozo valasz a vegtelenbeli hatarerteket adja csak meg, 2-ben a hatarertek:

1/9(x-2)^3 az -vegtelenbe tart ha x tart 2-hoz balrol.

x=2 eseten 4x^3-9x^2 = 32 - 36 = -4 ami negativ szam,

tehat a tort -1*(-vegtelen) = + vegtelenbe fog tartani.

b)

2<23/10

vagyis az intervallumon mindenhol ertelmezve van a tort.

A nevezoje itt vegig pozitiv, a szamlaloja szinten pozitiv.

A derivaltja:

((12x^2-18x)*9(x-2)^3 - (4x^3-9x^2)*27(x-2)^2)/(81(x-2)^6)

Ennek az elojele megegyezik:

((12x^2-18x)*9(x-2)^3 - (4x^3-9x^2)*27(x-2)^2) elojelevel.

((12x^2-18x)*9(x-2)^3 - (4x^3-9x^2)*27(x-2)^2) =

= (x-2)^2* ( 108x^3 -162x^2 - 216x^2 + 324x -108x^3 +243x^2) =

=(x-2)^2 * (-135x^2 +324x) =

(x-2)^2 * x * (324-135x)

aminek az elojele az adott intervallumon megegyezik

(324-135x) elojelevel

vagyis

x<2,4 eseten pozitiv

x=2,4 eseten 0

x>2,4 eseten negativ

Vagyis x=2,4-ben van a fuggvenynek egy maximuma az intervallumon,

a minimumat pedig az intervallum egyik vegpontjan veszi fel, ami x=23/10-nel lesz:

[link]

BKRS nagyon szépen leírt mindent. Ha látni is akarod:

[link]