Valoszinusegszamitas?

Alsó indexet nem nagyon tudok írni itt, ezzel fogom jelezni az indexben lévő X-et: _X

Az X változó sűrűségfüggvénye:

f_X(x) = 1/(π·(x²+1))

Az eloszlásfüggvény a sűrűségfüggvény határozott integrálja:

F_X(x) = ∫ f_X(t) dt (minusz ∞-től x-ig megy az integrál)

1/(x²+1) primitív függvénye arc tg x, ezért a határozott integrál:

F_X(x) = 1/π·(π/2 + arc tg x)

F_X(x) = 1/2 + 1/π·arc tg x

Persze az eloszlásfüggvény ezt a valószínűséget jelenti:

F_X(x) = P(X < x)

Legyen az Y valószínűségi változó: Y=1/X

F_Y(y) = P(Y<y) = P(1/X < y) = P(X > 1/y) = 1 - P(X < 1/y)

F_Y(y) = 1 - F_X(1/y)

(Ez az utolsó két sor teljesen általános, nem csak ennél az eloszlásnál ilyen)

Most:

F_Y(y) = 1 - F_X(1/y) = 1 - (1/2 + 1/π · arc tg(1/y))

F_Y(y) = 1/2 - 1/π·arc tg(1/y)

Deriváljuk le ebből az f_Y(y) eloszlásfüggvényt:

Mivel:

d/dy arc tg(1/y) = 1/(1/y²+1)·(-1/y²) = -1/(y²+1)

ezért:

f_Y(y) = 1/π·1/(y²+1)

Vagyis tényleg standard Cauchy eloszlású.

Valami nem tetszett már éjszaka ezen a levezetésen, mivel csak a sűrűségfüggvényre jött ki, hogy Cauchy, az eloszlásfüggvényre nem. Ráadásul ami kijött eloszlásfüggvény (1/2 - 1/π·arc tg(1/y)) nem monoton nő a 0 körül (-0-nál 1, aztán +0-nál leugrik 0-ra). Ettől a szakadástól eltekintve szig.mon nő, a deriváltja pont Cauchy (persze a 0-át kivéve).

Ott van a gond, hogy ha Y és y közül pontosan az egyik negatív, akkor a reciprok nem úgy megy, az egyenlőtlenség irányt vált.

Nincs most időm belegondolni, de olyasminek kellene kijönnie, hogy negatív y-ra 1/2-del kevesebb legyen a valószínűség, pozitívokra meg 1/2-del több.

Bizonyára olyasmiből jön ki ez az 1/2, hogy ha X negatív (ami 1/2 valószínűségű) y meg pozitív, akkor P(1/X < y)-ból nem P(X > 1/y) lesz, hanem 1. Ugyanígy a másik irányban is.

Ez az eloszásfüggvény menetét nem befolyásolja, csak az értékét, ezért lett a derivált jó.