11. -es matek feladat?

Az elsőhöz egy rajz és a számolás menete:

[link]

A második egyszerű koszinusz-tétel.

1.

Rajzolj egy ábrát:

- A domb egy derékszögű háromszög, csúsai A,B,C. A derékszögű csúcs legyen B, a felső C, az alsó pedig A. A domb hajlásszöge a CAB szög, nevezzük szokásosan α-nak. Átfogója AC=24 m.

- Nagyobbítsd is meg lefelé a háromszöget, továbbra is derékszögű. Az új csúcsok legyenek A' és B' (az A és B meghosszabbításában). Az össz átfogó A'C = 24+28 = 52 m. A CA'B' szög persze szintén α.

- A domb tetején (C csúcstól indulva) van a torony, magassága h, felső csúcsa legyen a T pont.

- A domb közepétől (A pont) húzz egyenest a torony tetejéig (T). Lesz egy kis ACT háromszög, két oldala 24m és h, TAC szöge γ=35°50' a látószög.

- A domb legaljától (A' pont) is húzz egyenes T-be, ez lesz az A'CT háromszög. Oldalai 52m és h, TA'C szöge δ=19°30'

Ennyi volt a rajz az adatokból.

Fel tudjuk írni a BTA szöget: 90°-(α+γ)

Hasonlóképpen a B'TA' szög: 90°-(α+δ)

A CTA és a CTA' háromszögekben is írjuk fel a szinusztétellel:

sin CTA / sing γ = 24 / h

sin CTA' / sin δ = 52 / h

sin CTA = sin 90°-(α+γ) = cos(α+γ) = cos α·cos γ - sin α·sin γ

sin CTA' = sin 90°-(α+δ) = cos(α+δ) = cos α·cos δ - sin α·sin δ

cos γ/sin γ illetve cos δ/sin δ kiszámolható konstans szamok, hisz γ és δ meg vannak adva. Nem számolom ki őket, csak elnevezem g-nek meg d-nek:

g = ctg γ = ctg 35°50'

d = ctg δ = ctg 19°30'

A fenti szinusztételes egyenletek ezek lesznek most:

g·cos α - sin α = 24/h

d·cos α - sin α = 52/h

Szabaduljunk meg h-tól: (elsőből kifejezem 52/h-t, egyenlő lesz másodikkal)

(g·cos α - sin α)·52/24 = d·cos α - sin α

(52/24 g - d)·cos α = (52/24 - 1)·sin α

(52/24 g - d)/(52/24 - 1) = tg α

Ebből aztán α kiszámolható, hisz a jobb oldalon már minden ismert.

Utána már kijön h is.

A második sima koszinusztétel.

Az első válaszoló gyorsabb is volt nálam, meg úgy látom, egyszerűbb is a megoldása. Bár én az ő megoldása végét inkább így csinálnám:

3. ABD háromszögből h= (koszinusztétellel)

4. ABD háromszögből ABD szög= (szinusztétellel)

5. β=

A második feladatnál nem kell nagyon ábra, egyszerűen egy háromszög van csak, aminek a három oldala adott (250, 220, 150). Valószínű függőlegesen, a fa magasságában gondolkodsz, pedig nem úgy kell, a fák távolságát kell szögben kifejezni.

Egy más módszeren alapuló megoldás

[link]

Nekem a szög nem annyi, mint a közölt megoldásod, hanem 8,6°

DeeDee

***********