Hogyan tudom kiszámolni egy derékszögű háromszögben a súlypont távolságát a derékszög csúcsától, ha ismert a befogókhoz húzott súlyvonalak hossza?

Mivel van három csúcsa a háromszögnek, ezért nem egészen egyértelmű a feladat ezen megfogalmazása.

Viszont megoldani nem lehetetlen. A súlyvonal a csúcsot köti össze a szemközti oldal felezőpontjával. A súlypontnak pedig megvan az a jó tulajdonsága, hogy a súlyvonalat 2:1 arányban osztja, úgy, hogy a hosszabb rész esik a csúcs felé. Innentől nem nehéz a dolog. Példaként vegyük a súlypont távolságát az A csúcstól: ismered az a oldalhoz tartozó súlyvonal hosszát, megrajzolod (1. felismerés: "Jé, az A-ból indul!"), bejelölöd rajta az őt 2:1 arányban osztó pontot (2. felismerés: "Jé, ez pont az SA távolság!"), aztán kiszámolod, hogy ez milyen messze van az A-tól.

A derékszögű csúcstól való távolsága egy kicsit másképp néz ki, ehhez tudnod kell Thalész tételét is. Ha berajzolod az átfogóhoz tartozó súlyvonalat, az az átfogó felezőpontját fogja összekötni a vele szemközti csúccsal. Thalész tétele azt mondja ki, hogy ha derékszögű háromszögben az átfogóra kört emelünk, azon mindhárom csúcs rajta lesz. Ennek a körnek pont az átfogó felezőpontja lesz a középpontja, ebből következően a sugara az átfogó fele. S mivel mindhárom csúcs rajta van, ezért az átfogóval szemközti is ott lesz. A körről pedig érdemes tudni, hogy minden pontja sugárnyi távolságban van a középponttól. Ebből nagyszerűen látszik, hogy az átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza pont az átfogó fele. Ha pedig megvan a súlyvonal, az előzőekben felhasznált 2:1 arányú felosztás segítségével meglesz a súlypont távolsága is.

Sok sikert hozzá!