Honnan tudom, hogy 1,3' végtelen szakaszos törtből hogyan lesz 4/3-ad?

1,3=x ezt megszorzod 100-al tehát 100x=133,3' 100X-1X=132

Tehát 132/99=x !

Hát őőő, szerintem egyszerűbb mértani sor összegeként felírni.

Például:

1,333.... = 1 + 3/10 + 3/100 + 3/1000 +.... = 1 + 3/(10^1) + 3/(10^2) + 3/(10^3) + .... + 3/(10^n) = 1 + a(1)/(1-q)

ahol

a(1) = 3/10

q = 1/10

Azaz: 1 + [(3/10) / [1-(1/10)]] = 1 + [(3/10)] / (9/10)] = 1 + (3/10 * 10/9) = 1+ 30/90 = 1+ 1/3 = 4/3

Már hogyne lenne pontosan jó a 'megszorzom 100-zal' módszerű megoldás!

Az első két esetben (1,3' valamint 0,9') egyébként elég 10-zel is szorozni, a 0,1'457' esetében viszont 1000-rel kell. Szóval 10 annyiadik hatványával kell szorozni, amilyen hosszú az ismétlődő szakasz a végtelen szakaszosan ismétlődő tizedestörtben.

Nevezzük x-szel a tört pontos értékét:

     1 x = 0,1457457457...

1000 x = 145,7457457457...

(Nem tudom, sikerült-e úgy írnom, hogy az azonos számjegyek jobb oldalt egymás alá kerüljenek... képzeld el úgy)

Mivel végtelen hosszú a tizedestört, a "..."-tal jelzett részek egyformák, hiába van 3-mal elcsúsztatva balra az ezerszeres. Ez a trükkje a végtelennek! (végtelen plusz 3 is pontosan ugyanúgy végtelen)

Na most ha kivonjuk az alsóból a felsőt, 999x-et kapunk, és a jó dolog az benne, hogy a végtelen hosszú szakaszok kiejtik egymást:

999 x = 145,6

9990 x = 1456

x = 728/4995

Fontos megérteni, hogy ez nem határérték, hanem pontosan egyenlő a kettő. Határérték akkor lenne, ha nem végtelen tizedestört lenne, hanem egyre hosszabb, de véges. Viszont a 0,1'457' végtelen hosszú (azért találták ki a fölülhúzás vagy fölülpontozás jelölést, illetve itt a két aposztrofot, hogy ezt a végtelent kifejezze).

Tehát pl. 0,9' az PONTOSAN 1, nem csak határértékben 1. Az 1-et (meg bármi más véges hosszú törtet) két alakban is fel lehet írni, amik pontosan egyenlőek. Pl. 0,5 meg 0,49' mindkettő pontosan 1/2.

Részlet wikipedia-ból:

"Véges tizedes törtekkel ugyanúgy lehet számolni, mint az egészekkel, egyedül a tizedesvessző helyére kell ügyelni. A végtelen (akár periodikus) tizedestört alakokkal való számolás azonban már bonyolultabb, ezzel a határértékszámítást felhasználva a matematikai analízis sorelmélet nevű része foglalkozik. A végtelen tizedestörtek ugyanis tekinthetők végtelen sorozatok határértékének."

Igen, pontosan 1/2 mindkettő.

Abban igaza van a cikknek, hogy a végtelen szakaszos tizedestört "tekinthető" egy sorozat határérékének, sőt, ki is lehet számolni az értékét úgy, mintha egy sorozat határértéke lenne. Viszont az is igaz, hogy absztraktálható a dolog úgy is, mint egy konkrét szám, amit mi éppen most 0,49' formában írunk fel, és tudjuk, mint értünk alatta, és nem félünk attól, hogy végtelen sok számjegy van ott.