Matek házi az egyik barátomnak, segítenél neki?

1)

1/x + 1/y + z = 7/2

Vagy x-nek vagy y-nak párosnak kell lennie, ugyanis ha beszorzunk 2xy-nal, ezt kapjuk: 2(x+y+xyz)=7xy, tehát x vagy y vagy mindkettő páros.

a) Mondjuk legyen x=2:

1/y + z = 3

Mivel természetese számok, ezért y=1 kell legyen, egyébként a bal oldalon tört lenne, a jobb oldalon pedig egész.

Tehát x=2, y=1, z=2

Persze kezdhettük volna y=2-vel is x=2 helyett, abból

x=1, y=2, z=2

jött volna ki, az is megoldás.

b) Nézzünk 2-től nagyobb páros számot, pl. x=4

1/4 + 1/y + z = 3 + 1/2

z egész, tehát 1/4+1/y = 1/2 kell legyen, tehát y=4. Vagyis ez is megoldás:

x=4, y=4, z=3

Lehetne elvileg 1/4+1/y=3/2 vagy 5/2 vagy 7/2 is, de nincs olyan természetes szám y...

b) Még nagyobb páros szám, pl. x=6

1/6 + 1/y + z = 3 + 1/2

Mivel z egész, 1/6+1/y-nak kellene kiadnia az 1/2, 3/2 stb. törtet, de nincs ilyen y.

Vagyis csak a fenti 3 megoldás van.

3)

Osszuk fel a téglatestet 1 m³-es kockákra. A térfogat 40 m³, tehát 40 ilyen kocka lesz. Lesz legalább egy kocka, amiben legalább két pillangó lesz.

Mivel a kocka két legtávolabbi csúcsának távolsága (a nagyátló) √3, ami 1,732..., ezért a kockában lévő két pillangó legfeljebb ilyen messze lehet, és ez kevesebb, mint 1,8 m.

4)

A számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség szerint:

(a+b)/2 ≥ √(ab)

(a+b)²/4 ≥ ab

Ha az nevezőkbe (a₁·a₂ stb.) helyébe a nála nagyobbegyenlő (a₁+a₂)²/4 stb-t írjuk, akkor az A-nál kisebbegyenlő B-t kapjuk:

B ≤ A, de inkább írjuk fordított sorrendben:

A ≥ B = (a₁+a₂)/((a₁+a₂)²/4) + (a₂+a₃)/((a₂+a₃)²/4) + ...

B = 4/(a₁+a₂) + 4/(a₂+a₃) + ...

B = 4/(4/3) + 4/(4/5) + ... + 4/(4/(2n-1))

B = 3+5+7+...+2n-1

A jobb oldal egy számtani sorozat összege:

B = n(2n+2)/2

B = n(n+1) > n²

Tehát azt kaptuk, hogy

A ≥ B > n²

√A > n > n-1

Vagyis a feladat egyenlőtlenségénél még erősebb egyenlőtlenség is igaz.

Egy másféle megoldás az első feladathoz

1/x + 1/y + z = 7/2

z-re rendezve

z = 7/2 - 1/x - 1/y

kis átalakítással

z = (8 - 1)/2 - 1/x - 1/y

vagyis

z = 4 - (1/2 + 1/x + 1/y)

Legyen 'k' a zárójeles kifejezés, vagyis

k = (1/2 + 1/x + 1/y)

Ha a 0-t is természetes számnak tekintjük, akkor k lehetséges értékei

k = 0, 1, 2, 3, 4

Ezeket az eseteket kell megvizsgálni

k = 0

1/2 + 1/x + 1/y = 0

1/x + 1/y = -1/2

Mivel x és y nem lehet negatív, nincs megoldás

k = 1

1/2 + 1/x + 1/y = 1

1/x + 1/y = 1/2

Ez csak úgy lehet, ha

x = 4

y = 4

így

z = 3

k = 2

1/2 + 1/x + 1/y = 2

1/x + 1/y = 3/2

Ez csak úgy lehet, ha

x = 1

y = 2

vagy

x = 2

y = 1

Mindét esetben

z = 2

k = 3

1/2 + 1/x + 1/y = 3

1/x + 1/y = 5/2

nincs egész számú megoldás, hasonlóképp

k = 4 esetén sem.

DeeDee

**********