Teljes fg. Vizsgálat ( 5x ) / ( 4* (x^2) +1 )?

Az eddig leírtakhoz: a zérushely és az ÉT jó. A derivált majdnem jó. Helyesen:

f' = (5-20x^2)/(4x^2+1)^2.

f" = (640x^5-320x^3-120x)/(4x^2+1)^4.

Először is x->-végtelen-ben a függvény határértéke 0-, x->végtelen-ben 0+.

A lehetséges szélsőértékhelyek (f'=0): 1/4 vagy -1/4.

Konkavitás szempontjából az f"=0-át kell vizsgálni: -gyök(3)/2, 0, gyök(3)/2.

Most érdemes táblázatot készíteni. (Megpróbálom)

(-végt;-gyök(3)/2)||-gyök(3)/2||(-gyök(3)/2;-1/4)

----------------------------------------------------

f le le le

f' - - -

f" - 0 +

folytatva:

-1/4||(-1/4;0)||0||(0;1/4)||1/4||(1/4;gyök(3)/2)

----------------------------------------------------

f min fel fel fel max le

f' 0 + + + 0 -

f" + + 0 - - -

és a vége:

gyök(3)/2||(gyök(3)/2;végt.)

----------------------------------

f le le

f' - -

f" 0 +

Tehát ahol f"=0, ott inflexiós pontja van. (Ez nem mindig igaz. Ehhez kell a harmadik derivált vizsgálata, vagy mint ahogyan itt, a második derivált előjelének vizsgálata.)

Hátha ebből is sikerül valamit megérteni.

[link]