Hogyan lehet megcsinálni ezt a nehéz feladatot?

Ha n>7 , akkor a nevezo biztosan pozitiv. Vagyis at lehet szorozni azzal is meg 100-zal is:

200n^3 + 300n^2 + 100n + 400 < n^4 -7n^3 + 3n^2 +7n +4

Vonjunk ossze mondjuk a jobb oldalon:

n^4 -207n^3 -297n^2 -93n -396 > 0

A feladatban szereplo N nyilvan letezik, mert a fenti negyedfoku gorbenek 4 zerus helye van, es a legnagyobbtol jobbra monoton novekszik.

az n^4-t csapjuk szet negy reszre:

(1/4)n^4 - 207n^3 = n^3 ((1/4)n -207) >0 ha

(1/4)n -207 >0

vagyis n > 828

0.25n^4-297n^2=n^2(0.25n^2-297) > 0 ha

0.25n^2 > 297

n> 35

0.25n^4 -93n =n(0.25n^3 -93) > 0 ha

0.25n^3 > 93

n > 8

0.25n^4 - 396 > 0 ha

n>7

Vagyis N=828 eseten (valoszinuleg vcalaszthattunk volna kisebb N-et is) fennall az egyenlotlenseg.

Mivel eleg volt egy N-et mutatni, nem kellett a legkisebbet, ezert 828 egy jo megoldasa a feladatnak, barmely nagyobb szam is jo lenne.

Szerintem probalkozassal az nem jon ki, hogy minden nagyobb szamra is igaz.

Hatarertekes megoldassal szinten nem fog kijonni, mert a hatarertek nem vesz figyelembe veges sok kivetelt.

Eddig egyedül BKRS megoldása jó, mert olyan N-et kell mondani, ami fölött biztos, hogy teljesül az egyenlőtlenség, nem pedig olyat, amire nagyjából teljesül. Sem a 207, sem a 208, de még a 208,425 sem jó, azokra még éppencsak nem teljesül az egyenlőtlenség (a pontos érték a wolframalpha szerint 208,42714288834769620...)

Szóval nem az a cél, hogy minél jobban megközelítsük a zérushelyet, hanem hogy találjunk EGY olyan N-et, amire teljesül.

BKRS megoldásától különböző megoldás:

Ötlet: Ha a számlálót növelem, a nevezőt csökkentem, biztos olyan számot kapok, ami nagyobb az eredeti törtnél. Ha még ez is kisebb 1/100-nál, az az N jó érték lesz:

Számláló: Ha n > 4, akkor:

2n³ + 3n² + n + 4 < 2n³ + 3n² + n² < 2n³ + n³ = 3n³

Nevező: Ha n > 14, akkor:

n⁴ - 7n³ + 3n² +7n +4 > n⁴ - 7n³ > n⁴/2

Ez lett:

eredeti tört < 3n³/(n⁴/2) = 6/n < 1/100

n > 600

Szóval a 600 is egy jó N érték. Persze jóval nagyobb, mint szükséges, de nem volt feltétel, hogy a lehető legkisebb legyen, és könnyű volt kiszámolni.