MATEK! Hogy lehet rendezni egy ilyen fajta kifejezést?

Ha szorzattá alakítasz egy ilyen kifejezést, az egyben azt jelenti, hogy megoldod a 2k^3 + 9k^2 + 13k + 6 = 0 egyenletet, ami harmadfokú, és nem olyan könnyű. Ennek a -1, -2 és a -3/2-ed lesznek a megoldásai, pont úgy, mint a szorzattá alakítottnak (azaz (k+1) (k+2) (2k+3)=0)

Vagyis a válasz az, hogy "rendezni" = megoldóképlettel megoldani.

De szerintem neked nem ez a célod, így emiatt okoskodni kell:

1. Mi a legmagasabb fokú kitevő? Annyi szorzat lesz benne (=3)

2. Mi a legmagasabb fokú tag együtthatója (2), az egyik tényezőben lesz egy 2k

3. Érdemes még megnézni, leosztható-e egész számmal az egész kifejezés, mert akkor az kiemelhető.

4. És jó, ha tudod fejből a (k+1)(k-1) meg a (k+1)(k+1), stb. kifejezések értékét, hogy észrevedd, van-e ilyen benne.

Van még egy csomó ötlet, pl. a 6-os sugallja, hogy úgy jöhet ki, hogy 1*2*3, amiket látsz is a szorzatban. Ezért elsőre kipróbálnám, stb-stb...

De biztos megoldást megoldóképlettel fogsz tudni adni rá.

Remélem segített.

Ahogy az első válaszoló is írta, itt most nem rendezni kell, hanem szorzattá alakítani. Az pedig harmad és nagyobb fokúaknál trükkös dolog.

Hanyadikos vagy? Ha nem matematikus szakos egyetemista, akkor a harmadfokú megoldóképletet felejtsd el...

Gondolom középiskolás vagy. Gyakorlatilag nem marad más, mint azok a próbálgatások, amiket az első válaszoló írt. Az egyiket kifejteném bővebben, mert a legtöbbször az használ:

Az esetek nagy részében a tanár olyan példákat ad fel, amiknél a szorzat alakban egész számok vannak. Ezeknek a szorzattá alakítását viszonylag egyszerű kitalálni. Csak azt kell észrevenni, hogy pl. az

(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)

kifejezés, ha beszorozzzuk, fog adni egy csomó x a sokadikonos tagot, amiknek az együtthatóit nehéz kitalálni, és fog adni egyetlen egy x-et nem tartalmazó (vagyis nulladfokú) tagot, ami nagyon egyszerű lesz: éppen a·b·c·d. Harmadfokúaknál a·b·c.

Ezt próbáld is ki mondjuk ezzel: (x+2)(x+3)(x+5). A nulladfokú tag (amiben x nincs) 30 lesz.

Vagyis amikor visszafelé az x³+10x²+31x+30-ból próbáljuk kitalálni a szorzattá alakítást, az a,b,c mindhárman osztói lesznek a 30-nak!

Ezek után csak fel kell sorolni 30 osztóit: 1,2,3,5,6,10,15,30 és negatív előjellel ugyanazok (azokról se feledkezzünk el!), és ki kell próbálni sorban őket, hogy beleakadunk-e olyanba, amit x-ként a kifejezésbe helyettesítve 0 eredményt kapunk.

x=1: f(x) = 72, nem jó

x=-1: f(x) = 8, nem jó

x=2, f(x) = ... nagyon sok, nem jó

x=-2, f(x) = 0 HEURÉKA

Vagyis a -2 gyöke a kifejezésnek, ezért (x+2) kiemelhető belőle: (vigyázat! minusz 2-ből plusz 2 lesz és fordítva. Gondolom érted, hogy miért...)

(x+2)(x²+8x+15)

Most már valószínű egyszerűbb a további próbálgatás helyett a másodfokút megoldani a megoldókepletével, és kész is leszünk.

----

A te példádnál:

6 osztói: +1,-1,+2,-2,+3,-3

Amikor -1-re nézed, akkor 0 lesz a kifejezés értéke, tehát (k+1) kiemelhető belőle.

(2k³+9k²+13k+6) : (k+1)

Polinomok osztását ugyanúgy kell végezni, mint ahogy nagy számok osztását tanultuk általános iskola alsóban:

2k³/k miatt lesz 2k², ezt leírjuk, visszaszorzunk vele, 2k²(k+1)=2k³+2k², ezt levonjuk a kifejezésből, ezt kapjuk:

(7k²+13k+6) : (k+1)

Itt most 7k²/k az 7k, leírjuk, visszaszorozva 7k(k+1) = 7k²+7k. Ezt levonjuk a bal oldalról, ezt kapjuk:

(6k+6) : (k+1)

ami kereken 6, leírjuk a többi után. Tehát a hányados 2k²+7k+6 lett.

Ennek a megoldóképlettel a megoldásai:

k = (-7±√(49-48))/4

vagyis k1=-2, k2=-3/2

amiből lesznek (k+2) valamint (2k+3) tényezők. Remélem, ezt az utóbbit is érted...