Hogyan tudnám egyszerűsíteni a következő kifejezést?

Hú de ravasz feladat!

(2+√3)/(√2+√(2+√3)) + (2-√3)/(√2-√(2-√3))

Nevezzünk el néhány dolgot másnak:

a = √(2+√3)

b = √(2-√3)

Ezekkel a feladat:

a²/(√2+a) + b²/(√2-b)

=============

Játsszunk kicsit a-val és b-vel, kijön néhány érdekes dolog:

a·b = √(4-3) = 1, tehát a és b egymás reciprokai!

Ezért az is igaz, hogy:

a/b = a²

b/a = b²

Aztán mennyi a+b:

(a+b)² = a² + b² + 2ab

(a+b)² = 2+√3 + 2-√3 + 2 = 6

Mivel a és b is pozitív, ezért

a+b = √6

Végül mennyi a-b:

(a-b)² = a² + b² - 2ab

(a-b)² = 2+√3 + 2-√3 - 2 = 2

és mivel a>b, ezért a-b nem lehet -√2, vagyis

a-b = √2

=================

Tehát √2 helyébe írhatunk (a-b)-t. Így a kifejezés ez lesz:

a²/(a-b+a) + b²/(a-b-b)

a²/(2a-b) + b²/(a-2b)

Egyszerűsítsünk a-val illetve b-vel:

a/(2-b/a) + b/(a/b-2)

mivel a/b = a² = 2+√3

illetve b/a = b² = 2-√3

ezért a kifejezés:

a/(2-(2-√3)) + b/((2+√3)-2)

a/√3 + b/√3

Mivel a+b = √6, ezért a kifejezés értéke:

√6/√3 = √2

Ilyen egyszerűre adódott: √2

Melyik egyetem?

A lányom BME vegyészkarra jár, és ők is szenvedtek a matekkal :)

Jópofa kis példa! :-)

Bár bongolo megelőzött, leírom a megoldásom

A = (2+√3)/(√2+√(2+√3)) + (2-√3)/(√2-√(2-√3))

Legyen

a = √(2+√3)

b = √(2-√3)

c = √2

Így a feladat

A = a²/(c + a) + b²/(c - b)

Közös nevezőre hozva

A = [a²(c - b) + b²*(c + a)]/(c + a)(c - b)

a számlálóban elvégezve a műveleteket és összevonva lesz

S = c(a² + b²) - ab(a - b)

a nevező

N = (c + a)(c - b) = c² - bc + ac - ab =

N = c² + c(a - b) - ab

bongoló helyes adatai szerint

a² + b² = 4

ab = 1

a - b = √2

behelyettesítve

a számláló

S = 4c - √2

a nevező

N = c√2 + 1

A c = √2-t behelyettesítve lesz

N = (4√2 - √2)/(√2√2 + 1) = 3√2/3

N = √2

=====

DeeDee

**********