Gyök (x+2) négyzeten+gyök (x-5) négyzeten=10 Mi a válasz erre az egyenletre, ha az x eleme a valós számoknak?

Szia,a kerdesem az az hogy a negyzet csaka gyokre van vagy az egesz zarojelre,mert ha az egesz zarojelre akkor az lesz h a negyzetre elemes eltuntei a gyokot,es marad 2x+7-10 ami egy masadrendu fuggveny es deltaval meg x1,2 vel ki lehet szamitani

Remelem h tudtam segiteni sok sikert holnapra

Igem,igy leegyszerusodik mert a a negyzetgyokot egyszerusited a negyzettel,tehat igy nehez leirni,s marad (x+2)+(x-5)=10 s ezt tovabb szamolod lesz x+2+x-5=10

ami 2x-3=10 s akkor a 10 atviszed s lesz 2x-3-10=0 ez egy masadfoku fuggveny

Ja elnezest az elobb elszamoltam azert irtama -3 helyett 7 et,bocs

nem, mert a két cucc kiüti egymást gyakorlatilag csak elvégzed a műveleteket, tehát az lesz h 2x-3=10

x=6,75

Ez a feladat?

[(x+2)^2]^(1/2) + [(x-5)^2^]^(1/2) = 10

Mert ha igen, akkor egy nagyon fontos tényező hiányzik: Mi az egyenlet értelmezési tartománya. Biztos meg van adva. Ha x€R, akkor ki kell kötni, hogy a gyök alatti rész >= 0. Ez teljesül, mivel négyzeten van, tehát az összes megoldás része az értelmezési tartománynak.

Azonban!!! A négyzetgyököt nem úgy bontjuk fel, ahol előttem írták.

Ugyanis az (x^2)^(1/2) az nem x, hanem |x| [±x]!!!

Azaz az egyenletek felbontva:

x€R és x bármely R-beli számot felveheti.

|x+2| + |x-5| = 10

Azaz:

±(x+2) + [±(x-5)] = 10

vagyis a zárójeleket felbontva az alábbi NÉGY egyenletet kapjuk. (Ezen NEM másodfokúak!

1.) x+2 + x-5 = 10

2.) x+2 - x+5 = 10

3.) -x-2 + x-5 = 10

4.) -x-2 - x+5 = 10

A 2. és a 4. egyenletünk ellentmondásra fut, ugyanis aszerint 7 = 10, amely nem igaz, illetve -7=10, amely szintén nem igaz. Tehát két egyenletünk maradt, ezeket megoldjuk:

1.

x+2 + x-5 = 10 // rendezem az egyenletet

2x - 3 = 10 // +3 mindkét oldalhoz

2x = 13 // mindkét oldal /2

x1= 13/2 = 6,5 ///

2.

-x-2-x+5 = 10 //rendezem az egyenletet

-2x+3 = 10 // -3 mindkét oldalra

-2x = 7 /mindkét oldal /-2-vel

x2= -7/2 = -3,5 ///

Tehát két megoldásunk van, ezeket ellenőrizni kell:

x1 = 13/2 esetén:

[(13/2 + 2)^2]^(1/2) + [(13/2-5)^2]^(1/2) =? 10

[(17/2)^2]^(1/2) + [(3/2)^2]^(1/2) =? 10

(289/4)^(1/2) + (9/4)^(1/2) =? 10

±17/2 ± 3/2 =? 10

Mivel a megoldások között szerepel a tíz (20/2), így a számított x1 megfelelő az egyenletre nézve, az egyenlet egyik gyöke 13/2 ////

Ugyanez a x=-7/2 esetén:

[(-7/2 + 2)^2]^(1/2) + [(-7/2-5)^2]^(1/2) =? 10

[(-3/2)]^2^(1/2) + [(-17/2)^2]^(1/2) =? 10

(9/4)^(1/2) + (289/4)^(1/2) =? 10

±3/2 ± 17/2 =? 10

Mivel a megoldások között szerepel a tíz (20/2), így a számított x2 megfelelő az egyenletre nézve, az egyenlet másik gyöke -7/2 ////

FONTOS! Ha az ÉT x€Z vagy x€R+, vagy egyéb, de NEM R vagy Q, akkor az egyenletnek NEM BIZTOS, hogy mindkét megoldása jó.

Ha az ÉT csak pozitív számokat tartalmaz, akkor az x2 nem jó, ha csak egész számokat, akkor NINCS MEGOLDÁS, stb stb. Erre nagyon figyelj!