Melyik az a négyjegyű szám, amellyel 25 800-at osztva 21-et,138 818-at osztva pedig 8-at kapunk maradékul?

25800-21=25779

Bontsuk fel prímtényezőire:

25779=3*13*661

Ebből kiderül, hogy két négyjegyű osztója van:

3*661=1983 és 13*661=8593

Nincs más hátra, mint 138818-at elosztani mindkettővel, amelyiknél 8 lesz a maradék, az a keresett szám. Ez pedig nem más, mint az 1983.

Ha a 25800-at osztva 21 marad maradékul, akkor maradék nélkül osztható vele a:

25.800 – 21 = 25.779

Ugyanígy a 138.818-at osztva ha 8 a maradék, akkor maradék nélkül osztható a:

138.818 – 8 = 138.810

Namármost ezeket a számokat bontsuk fel prímtényezőire:

25.779 = 3*13*661

138.810 = 2*5*3*7*661

A keresett szám a mindkét számban előforduló 21-nél nagyobb prímtényezők, ill. szorzatuk, vagyis:

a 661, ill. a 3*661=1983 (két megoldás van)

Csak érdekességként

Legyen

N1 = 25800 - az egyik szám

m1 = 21 - az osztási maradéka

N2 = 138818 - a másik szám

m2 = 20 - és az osztási maradéka

n = ? - a közös osztó, mely a megadott maradékokat adja

A feladat megfogalmazható így is

N1 = p*n + m1

N2 = q*n + m2

ahol

p, q egész számok

Kicsit átrendezve

N1' = N1 - m1 = p*n

N2' = N2 - m2 = q*n

tehát

N1' = p*n

N2' = q*n

A két egyenletet elosztva egymással

N1'/N2' = p/q

A két szám törzstényezőkre bontása után

p/q = 13/70

vagyis

N1'/N2' = 13/70

átrendezve

n = N1'/p = N2'/q

Az osztást elvégezve adódik

n = 1983

=======

DeeDee

************