A lentihez hasonló határozatlan integrálokat hogyan kellene megoldani?

Huha, ez nem sima határozatlan integrál, hanem differenciálegyenlet. Biztos, hogy van a könyvetekben róla sok minden, ezeket nem lehet "csak úgy" kiintegrálni.

Ha mégsem lenne könyved hozzá, keress rá pl. Google-ben arra, hogy "lineáris differenciálegyenlet", és próbálj azok között találni jó tanulnivalót. Én pl. ezt találtam, de nem biztos, hogy ez a legjobb, nézz meg többet is:

[link]

Aztán javaslom még a megoldásod ellenőrzésére a Wolfram Alpha-t:

[link]

Ebbe beírhatod a differenciálegyeneletet, kiírja a megoldást. Sajnos levezetést nem mond, de ellenőrzésre nagyon jó.

Egyébként a fentiek közül az utolsó a legegyszerűbb, az homogén lineáris differenciálegyenlet. (A többiben nem csak y deriváltjai vannak, hanem valamilyen f(x) is, attól inhomogén). Egyébként a másodiknál a bal oldal valószínű inkább y''-2y' szóval a második y csak egyszer van deriválva...

A harmadik megoldása:

A lineáris differenciálegyenletek megoldása e^(zx) alakú szokott lenni, ahol z valamilyen komplex szám, jó esetben valós. Ennek a függvénynek az a jó tulajdonsága, hogy deriváltja önmagának z szerese, második deriváltja önmagának z² szerese, stb.

Vagyis ha y=e^(zx), akkor az egyenlet így alakul:

9z²y + 24zy + 16y = 0

Ez akkor lesz nulla, ha 9z² + 24z + 16 = 0

Vagyis a differenciálegyenletet át lehetett alakítani egy egyszerű másodfokú egyenletté, azt kell megoldani. A megoldóképletből is kijön a megoldás, meg ránézésre is látszik, hogy most ez a szorzatalak:

(3z+4)² = 0

vagyis egy kettős megoldás van, z=-4/3 (szerencsére valós).

Na most: másodfokon elvileg két megoldásnak kellene lennie, és akkor ezen megoldások bármely lineáris kombinációja is szintén megoldása a differenciálegyenletnek. Vagyis ha most két gyök lenne (z1 és z2), akkor e^(z1x) és e^(z2x) alkotná az alaprendszert, és y=c1·e^(z1x) + c2·e^(z2x) lenne az általános megoldás. Ha viszont többszörös gyök van, akkor az egy szem e^(zx) függvény nem alkot alaprendszert. Ilyenkor x·e^(zx) is megoldása a differenciálegyenletnek (ha z háromszoros gyök lenne, akkor x²·e^(zx) is megoldás lenne, stb.)

Szóval most a kétszeres gyök miatt az alaprendszer:

{ e^(-4x/3); x·e^(-4x/3) }

És az általános megoldás:

y = c1·e^(-4x/3) + c2·x·e^(-4x/3)

Ha a gyökök között komplex is lenne, akkor kicsit máshogy alakul a megoldás. (Mi akkor is valós megoldást keresünk, amihez e^ax·cos bx meg e^ax·sin bx lesznek az alapfüggvények.) Olvass utána.

Az inhomogén egyenleteket úgy kell megoldani, hogy megoldod először a homogént (tehát f(x)-et nullával helyettesítve), majd keresel az inhomogénhez egy tetszőleges megoldást, és annak meg a homogénből származó általános megoldásnak az összege lesz az igazi megoldás. A "tetszőleges megoldás" keresése során vannak trükkök, hogy milyen alakban érdemes keresni, olvass utána pl. a fent linkelt pdf file-ban, illetve olyanra keresve Google-ban, hogy állandó együtthatós inhomogén lineáris differenciálegyenlet.

Én is csak egy jegyzetet tudok ajánlani:

[link]