Kellene 1 kis matek help gyorsan, tom hogy gagyi de ezer éve nem csináltam!?

21:36 (kérdező)

I

2x=PI/3 + k*2PI

x= PI/6 + k*PI

II.

2x=2PI/3 + k*2PI

x= PI/3 + k*PI

Függvénytáblázatból néztem ki, hogy a sinus gyök3/2 az 60°.

Tehát 2x=60°, x=30°.

Legalábbis szerintem.

Az elsőt lehet, hogy elrontottam, mert én egyből a másodfokúra gondoltam.

Az eredeti feladatról:

Csak egy másik megoldást szeretnék mutatni, amit ebben az esetben érdemes használni.

Ha valahol egy matekpéldában két négyzet különbségét látja az ember, akkor szinte mindig arra kell gondolnia, hogy:

a²-b² = (a+b)(a-b)

Vagyis szorzattá lehet alakítani. Ebben az esetben:

(3x-4)² - (6x-7)² = 0

((3x-4) + (6x-7))·((3x-4) - (6x-7)) = 0

vagyis

(9x-11)(-3x+3) = 0

Ha egy szorzat értéke nulla, az csak úgy lehet, ha vagy az első tényezője nulla, vagy a második. Tehát a megoldás:

9x-11 = 0

vagy

-3x+3 = 0

Az elsőből x=11/9 jön ki, a másodikból pedig x=1.

Ez mindkettő megoldása az egyenletnek.

Egy másik módszer

(3x - 4)² - (6x - 7)² = 0

Az

a² - b² = (a - b)(a + b)

mintájára szorzattá alakítva

(3x - 4 - 6x + 7)( 3x - 4 + 6x - 7) = 0

(-3x + 3)(9x - 11) = 0

Az első tényezőből

x1 = 1

a másodikból

x2 = 11/9

A másik kérdés: sin(2x)=√3 / 2

Megint csak egy kicsit más megoldást mutatok:

Lehet számológépet vagy függvénytáblát használni a kiinduláshoz, de ez egy nevezetes érték, érdemes akár meg is jegyezni. Segítségül itt egy rajz:

[link]

A szabályos háromszög oldalai egyformák, nevezzük ezt a hosszat 2-nek. Ennek a háromszögnek a szögei 60 fokosak. A magasságvonal felezi a szöget és az alapot is, a kis háromszög (kék a rajzon) derékszögű, a szögei 30, 60 és persze 90 fokosak, oldalai pedig 1, 2 és √3 hosszúak. √3 a Pitagorasz tételből jön ki.

Ezt a rajzot érdemes az embernek a fejébe vésnie, nagyon sok matekpélda gyorsabban megoldható, ha az ember ezt megjegyzi.

Látszik az ábrából, hogy

sin 60° = √3 / 2

Ebből az ábrából az már nem látszik, de a szinuszról tudni kell, hogy sin(180°-x) is ugyanannyi, mint sin x, vagyis sin 120° is √3/2. És azt is kell tudni, hogy a szinusz függvény periodikus 360°-kal, tehát sin(x+k·360°) is annyi, mint sin x (ahol k tetszőleges egész szám).

Innentől kezdve ugyanaz, mint 21:45 megoldása, csak míg ő radiánokkal (~ pi-vel) számolt, én fokokkal.

Ha sin(2x) = √3 / 2

akkor 2x vagy 60°+k·360°-kal egyenlő, vagy 120°+k·360°-kal.

I.

2x = 60°+k·360°

x = 30°+k·180°

II.

2x = 120°+k·360°

x = 60°+k·180°

Ez a megoldás persze ugyanaz, mint 21:45-é.