Hogy számoljuk ki a kör középpontjából és az érintőjéből a sugarát?

Gondolom, koordináta-geometria, ugye?

Vagyis megvan az érintő egyenes egyenlete Ax+By+C=0 alakban, meg a középpont (x0;y0).

Lehet úgy is, ahogy az előző válaszoló írta. Vagyis:

- felírod az egyenesre merőleges egyenes egyenletét:

Bx-Ay+D=0

(A és B ugyanaz, mint fentebb, de C helyett D van)

- D-t kiszámítod abból, hogy Bx0-Ay0+D=0, hisz a merőleges egyenes átmegy a középponton.

- Meghatározod a két egyenes metszéspontját. Ehhez meg kell oldani a két egyenes egyenletéből alkotott egyenletrendszert, kijön belőle x és y.

- Ki kell számolni az (x;y) és az (x0;y0) pontok távolságát Pitagorasz tételével.

Kész, ez a sugár.

-------

Viszont van egy sokkal egyszerűbb (gyorsabb) megoldás is. Azt kell tudni hozzá, hogy az egyenes egyenletének van egy úgynevezett normálalakja. Ezt úgy kapjuk meg, hogy az egyenes egyenletét elosztjuk az irányvektorának a hosszával, vagyis normáljuk.

(számolhatunk a normálvektorral is, hisz azonos hosszúak)

Az egyenes egyenlete: Ax+By+C=0

Az irányvektora: (B;-A)

A normálvektora: (A;B)

Mindkettő hossza: √(A²+B²)

Vagyis az egyenes normálegyenlete:

(Ax+By+C)/(√(A²+B²)) = 0

Ennek az egyenletnek a bal oldala egy f(x,y) kétváltozós függvény.

f(x,y) = (Ax+By+C)/(√(A²+B²))

Most jön, amit tudni kell erről:

Ha ebbe a függvénybe behelyettesítjük egy P(x0;y0) pont koordinátáit, akkor megkapjuk a pont egyenestől való távolságát!

Természetesen ha a P pont rajta van az egyenesen, akkor a függvény értéke 0 lesz, hisz f(x,y)=0 maga az egyenes egyenlete.

A függvény értéke pozitív vagy negatív a szerint, hogy az egyenes melyik oldalán van a pont.

Na most ez a bevezetés meglehetősen hosszú volt, de a feladat megoldása rövid:

- Ki kell számolni az egyenes irányvektorának a hosszát:

√(A²+B²)

- Felírjuk az f(x,y)=(Ax+By+C)/(√(A²+B²)) függényt úgy, hogy A B és C helyett az adott illetve kiszamolt számok vannak

- Behelyettesítjük a kör középpontja koordinátáit az f(x,y) függvénybe

- Ami kijött, annak vesszük az abszolút értékét, hisz mindegy, hogy melyik oldalon van a pont

És kész a sugár

Egyszerűbb az előzőnél, mert nem kell egyenleteket meg egyenletrendszereket megoldani, viszont meg kell hozzá jegyezni az egyenlet normálalakjának ezt a tulajdonságát.