Mik a hatványozás definíciói? (7db)

Szerintem a hatványozás azonosságaira gondolsz, lehetséges?

Abból ötöt tanítanak kilencedikben, plusz egy lehet a nulladik hatvány definíciója, egy a negatív kitevő definíciója (kilencedikben), egy meg a törtkitevőé (tizenegyedikben).

Ez nyolc. Lehet, hogy a kilencedik az általános valós kitevőjű hatvány definíciója?

Vagy magasabb matematikát tanulsz és komplex számokat hatványozol komplex kitevővel? Akkor az Euler-féle exponenciális alak képlete is szóba jöhet...

vrrrrrrrr

Szerintem a fokozatos kiterjesztésre gondol a tanár (permanenciaelv). Most leírok valamit, ami biztos nem úgy van, ahogy a tanár gondolta, ne is vedd át szó szerint, de arra gondoltam hogy valami ilyesmi:

Egy ,,a'' valós szám n-edik hatványa:

1) Ha n = 2, akkor a·a

2) Ha az n az 2-nél nagyobb természetes szám (vagy 2), akkor a-t megszorzom önmagával n alkalommal ***bármilyen*zárójelezés*szerint*** (itt kihasználjuk a szorzás asszociativitását)

3) Ha n = 1, akkor az eredmény maga az ,,a''

4) H n = 0, akkor 1 (feltéve, ha ,,a'' nem éppen 0, bár ez vitatott kérdés, sokak szerint nem kell kikötni, mégis sokszor ki szokták kötni)

5) Ha n negatív egész szám, akkor ugye n ellentettje pozitív szám, aszerint elvégezzük a hatványozást, az eredménynek meg vesszük a reciprokát. 0-nak negatív hatványát nem értelmezzük, hisz eszerint 0 kerülne a nevezőbe.

6) Ha az n racionális szám, de nem egész szám akkor felírjuk tört alakban, aztán a tankönyvben leírt elv szerint (sajnos erre nem emlékszem, sok apró részlet van nem akarok hülyeséget mondani, valószínűleg a kikötések terén is egy csomó ördög rejlik a részletekben)

7) Ha az n irracionális szám (vagyis olyan valós szám, ami nem írható fel törtként), akkor a tankönyvben (másutt) leírt elv szerint (valami határérték, vagy közelítés, vagy intervallumok közé való beszorítás, ilyesmi lehet)

Valószínűleg nem pont erre gondolt a tanár. nagyon valószínű, hogy a 2) ponttal középiskolában nem szőrőznek (nekünk Fried Ervin vezette le az általános asszociativitást teljes indukcióval első egyetemi évfolyamon), szóval lehet hogy a 2) az nem szerepel a tanár verziójában. De akkor hogy jön ki a hét? Lehet hogy a ,,nulla a nulladikon''-nal kapcsolatos vitákra gondolt. Talán inkább valahogy így építhette fel a dolgot a tanár:

1) Ha az n az 2-nél nagyobb természetes szám, akkor a-t megszorzom önmagával n alkalommal: a·a· … · a

2) Ha n = 1, akkor az eredmény maga az ,,a''

3) Ha az ,,a'' az nulla, akkor az eredmény 0, de csak pozitív n esetén, ha viszont n nulla vagy negatív, úgy aⁿ-et, vagyis 0ⁿ-et nem értelmezzük

4) Ha az n nulla , akkor az eredmény biztos 1, kivéve, ha ,,a'' is nulla, mert úgy meg nem értelmezzük

a többi meg ugyanúgy.

Én amikor a hatványozásról gondolkodom, a nullákkal nem szoktam törődni ennyit, én minden szám nulladik hatványát egyszerűen 1-nek tekintem, még a nulla-a nulladikon-t is, szóval én a halmazelméleti illetve az algoritmuselméleti definíciót veszem alapul venni, az analízisbeli megfontolások pedig számomra ,,csak'' tételek, esetszétválasztással. Itt vannak a viták:

[link]

Azonban úgy tudom, középiskolában ez az út nem szokásos, ezért én most valami ilyesmire gondolok, hogy az a = 0 esetet is különvette a tanár. De tévedhetek is, sajnos nem tudom már, hogy tanítják a hatványozást középiskolában (főleg a kikötésekre gondolok, amelyek néha vitatottak is).

Mindenesetre az a sejtésem, hogy ilyesvalamiről van szó, szóval látszik a lényeg, ilyen hagymaszerűen egymásra épülő rétegekről, ahogy a 2-nél nagyobb vagy egyenlő természetes számoktól fokozatosan a negatív egészeken és a törteken át eljutunk a valós számokig, mindig rendre kiterjesztve a korábbi értelmezést.

Javítás:

1) Ha az n az 2-nél nagyobb természetes szám VAGY MAGA A 2, akkor a-t megszorzom önmagával n alkalommal: a·a· … · a

"A racionális számoknál csak a nevezőt és a számlálót kell n-edik hatványon venni"

Még mit lehetne? Ha a=p/q akkor a az n-ediken egyenlő p az n-ediken osztva q az n-ediken

"irracionális számoknál, pl pí nem tudom hogy kéne csinálni."

Approximációs algoritmussal lehet.(Hosszú.)

"De lehet hogy nem is gimis anyag."

Nem az.

"Ha n racionális akkor felírjuk p/q alakban A számra: A a p-ediken, gyök q alatt."

Igen.

Elnézést, hogy nem válaszoltam még, elúsztam az idővel.

Azt hiszem, kb. így állhat össze a hét definíció:

[link]

Az alábbi régi könyveimből vannak a képletek: dr Korányi Erzsébet (1987): Matematika I, III. Budapest: Tankönyvkiadó. A szövegeket meg én írtam, sajnálom hogy sok helyen még eléggé érthetetlen, még magam is csak nemrég olvastam át a témakört, még nem tudom jól összeszedni.

Ha nem lehet látni a képleteket, akkor valószínűleg nincs engedélyezve a gépeden a JavaScript. Újabban ezt használom, mert a kis képecskék sokszor nagyon rondán tudnak szemcsésedni, a javascript vektorgrafikus képleteket viszont nyugodtan lehet nagyítani-kicsinyíteni az oldallal együtt, mindig szépen borotvaélesen látszanak.