Egy versenyen 16 -on indultak. Célba érésük után, indulási sorrendjük számát megszorozva célba érésük számával mindig olyan számot kapunk, melynek osztási maradéka 17-tel 1 lesz. Hány versenyző esetén egyezett meg az indulási és az érkezési sorszám?

A feladatot meg lehetne oldani egyszerű próbálgatással is, de én próbáltam egy "szép" megoldást találni, íme:

A feladatot átírva egyenletre, ahol a keresett számokat jelölje x, azt kapjuk, hogy:

x^2 = 17*k+1 ahol k természetes szám, viszont x pedig 1-16ig egész szám. Átalakítom:

x^2-1 = 17k

(x+1)(x-1) = 17k

A jobb oldal osztható 17-el, ezért a bal oldalalnak is oszthatónak kell lennie 17-el, viszont ez prímszám, ezért valamelyik tényezőnek a bal oldalon oszthatónak kell lennie 17-el, ez pedig csak úgy lehetséges, hogy x = 1, ekkor k=0-val mindkét oldal 0, vagy x = 16, ekkor k = 15

Tehát ez a két szám lehetséges: 1 és a 16.

Még talán annyi okoskodásnak, hogy az 1-nek könnyen látható, hogy nem lehet más párja, viszont páros számú önmagával szorzott szám kell, hogy legyen, hiszen csak úgy lehetne a maradék számokat párba állítani. Ezért Biztos, hogy az 1, és a 16 is megoldás