Hány olyan pozitív egész szám van, amelynek pontosan négy (pozitív) osztója van, és az osztók összege 108?

Amit fontos tudni, hogy akkor lesz a számnak 4 osztója, ha két prímszám szorzataként előállítható. Egyik osztója az 1, egyik önmaga, és akkor a két prímszám, aminek a szorzataként előáll.

A két prímszám szorzatánál el lehet kezdeni próbálkozni, hogy pl 11* valamennyi, 11*7 még kevés, 11*11 már sok. 13-nál 13*7 már sok, 13*5 kevés.

Vagy végignézni a számokat pl 70-től, hogy melyik milyen számok szorzata, és kiszámolni az összeget. Ez viszonylag gyorsan megy, mert minden páros számot ki lehet zárni.

De szerintem csak az az egy megoldás van, hogy 85.

4 osztót 2 féleképp lehet kapni, ahol az alábbiakban p és q különböző prímeket jelöl:

I. n=p*q, osztói: 1, p, q, pq, osztók összege: (p+1)*(q+1)

108=2^2*3^3, tehát összesen 3*4/2=6 számpárt kell megvizsgálni:

1*108 -> 0*107, 0 nem prím

2*54 -> 1*53, 1 nem prím

3*36 -> 2*35, 35 nem prím

4*27 -> 3*26, 26 nem prím

6*18 -> 5*17=85, ez megoldás

9*12 -> 8*11, 8 nem prím

II. n=p^3, osztói: 1, p, p^2, p^3 osztók összege: (p^4-1)/(p-1)

Látható, hogy ha p nő, akkor ez az összeg is nő, tehát max. 1 megoldás lehet ilyenkor...

p=2 -> (p^4-1)/(p-1) = 15 < 108

p=3 -> (p^4-1)/(p-1) = 40 < 108

p=5 -> (p^4-1)/(p-1) = 156 > 108

tehát ebben az esetben nincs megoldás.

Így tehát egy ilyen szám van, a 85.