Geometriában kérnék segítséget!?

Legyen a kör középpontja O, a külső pont P, az érintési pontok E és F.

OPE derékszögű háromszög (E-nél van a derékszög), ismerjük a befogói hosszát. Az átfogó hossza és a háromszög területe könnyen kiszámítható. Ha ez megvan, akkor a területből visszakövetkeztethetünk az EF húr hosszára, ugyanis az EF húr fele éppen a háromszög átfogóhoz tartozó magassága.

x^2+y^2=r^2

xo*x+yo*y=r^2 (a te esetedben xo*x+yo*y=10^2)

xo elyére a pont x koordinátáját írod, yo helyére az yo koordinátáját. Ezzel megkaptad a szelő egyenletét, amely a két, p pontba húzható érintő pontját metszi ki. Megoldod azt az egyenletrendszert, amelyet a kör képlete (a te esetedben x^2+y^2=10^2) és a szelő alkot. Megkaptad a két pontot, majd ezekből helyvektort alkotva (vagyis az egyik pont koordinátáiból kivonod a másik pont koordinátáit) megkapod ugye a helyvektor koordinátáit, amelyet egy egyszerű h(ossz)=gyök(x^2+y^2).

A feladatot kétféle kiindulással is meg lehet oldani

Megrajzolva a megoldást legyen

R = 10 cm - a kör sugara

L = 24 cm - az érintő hossza

d - a külső pont és a kör középpontjának távolsága

O - a kör középpontja

P - a külső pont

T1, T2 - a két érintési pont

m - az érintési pontokat összekötő húr fele

h = 2m = ?

Első megközelítés

Az O-P-T1 háromszög egy derékszögű háromszög, melynek átfogóhoz tartozó magassága 'm'. (Egyébként az O-P-T1 háromszög Pithagorászi háromszög). Az 'm' értéke az ismert összefüggés szerint a befogók szorzata osztva az átfogóval.

Vagyis

m = R*L/d

A 'd' átfogó

d = √(R² + L²)

így

h = 2*m = 2*R*L/√(R² + L²)

Második megközelítés

A P-T1-O-T2 négyszög egy deltoid, amit két, az átfogójuk mentén szembefordított derékszögű háromszög alkot, ezért húrnégyszög is, ezért az utóbbira érvényes tétel szerint (az átlók szorzata egyenlő a szemben fekvő oldalpárok szorzatának összegével) írható

2*m*d = 2*L*R

Egyszerűsítve és 'm'-et kifejezve az előző megközelítés összefüggése adódik, vagyis

m = R*L/d

h = 2*m

A behelyettesítés legyen a kérdező dolga

(Az első válaszoló tippje jó, csak kétlem, hogy tippeléssel jutott erre az eredményre. :-) )

DeeDee

***********

A kör középpontja, az érintési pont és a külső pont derékszögű 3-szöget alkot. Ennek a 3szögnek az érintési pontra húzott magassága a keresett húr fele.

pitagorasz tétel

10^2+24^2=(x+y)^2 x a kör középpontjától a húrig tartó szakasz y a húrtól a külső pontig tartó szakasz

van még két derékszögű 3-szög :

x^2+m^2=10^2 és y^2+m^2=24^2

első egyenletből : x+y=26

x=26-y

beírva a 2. egyenletbe :

(26-y)^2+m^2=100

676+y^2-52y+m^2=100

m^2=52y-y^2-576

magasságtétel :

m^2= xy=(26-y)y =52y-y^2-576

26y-y^2=52y-y^2-576

26y=576

y=22,154

x=26-y=3,846

m^2=x*y=85.2071

m=9.2308

a húr hossza ennek a kétszerese: 18,462 cm

DeeDee

Najó, nem tippeltem. Rajzoltam egy újság szélére, aztán hasonló háromszögeket fedeztem fel az ábrán. Én csak 2 betűt használtam és nem is ellenőriztem, szóval azért eléggé elnagyoltam a levezetést magamnak is...

Utolsó válaszolónak

Ok, semmi probléma, mert jó a megoldás. Csak azért tettem a megjegyzést, mert szerintem többet tanul a kérdező, ha látja egy gondolatmenet magyarázatát is, nem csak a végeredményt. További jó tippelést! :-)

Dudoló Pocok-nak

Az rendben van, hogy jó a megoldásod, de bocs, az jutott róla eszembe, hogy: Miért egyszerűen, amikor bonyolultan is lehet. :-))

DeeDee

**********