5. osztályos gyerekem egyik matematika feladata ez. Legfeljebb hány forintunk lehet, ha csak 5 Ft-os,10 Ft-os,20 Ft-os,50 ft-os és 100 ft-os érméink vannak, és ezekkel nem tudunk kifizetni pontosan 200 ft-ot?

legfeljebb=maximum

mivel 200 ft-ot nem tudunk kifizetni és 5ft a legkissebb így 200-5=195 ft

Lehet, hogy félreértem a feldatot, mindenesetre leírom, hogy most hogyan értem.

Azért, hogy jobban megvilásítsam a lényeget (az én mostani értelmezésemben), előbb felírok egy MÁSIK HELYZETET:

,,Csak 5 Ft-os,10 Ft-os,20 Ft-os, és 100 Ft-os érméink vannak, és ezekkel nem tudunk kifizetni pontosan 200 Ft-ot''

Látható, hogy kihagytam az ötvenes érmeket, tehát ilyen címletünk ezúttal NE LEGYEN.

Ez egy egyszerűsített feladat (az eredeti ennél bonyolultabb lesz). Azért kezdem mégis ezzel az egyszerűsített helyzettel, mert így jobban látszani fog a törvény, ami az egész lényegét adja.

Ha csak 5 Ft-os,10 Ft-os,20 Ft-os, és 100 Ft-os érméink vannak, akkor mindenképpen ki tudunk rakni pontosan 200 Ft-ot, KIVÉVE HA ENNÉL KEVESEBB PÉNZÖSSZEGÜNK VAN.

Szóval: ha bármilyen, 200Ft-nál nagyobb összeget ki tudunk pengetni, akkor szükségszerűen ki tudunk fizetni pontosan 200-at is.

Fontos látni, hogy az EREDDETI példánál ugyanez NEM IGAZ! Ott előfordulhat, hogy 210 Ft-unk van összesen, de MÉGSEM TUDUNK BELŐLE kiszámolni pont 200-at:

100, 50, 20, 20, 20

ez összesen 210,

de 200 mégsem állítható össze az érmékből.

Láthatjuk, hogy a lényeg pont az ötvenes címlet létezésén bukik ki. Ha egyáltalán nem is létezne 50-es címlet, akkor minden címlet összevonható lenne a fölötte álló címletté (az ötösök tízesekké, a tízesek húszasokká, a húszasok százasokká). Ebben az esetben bármilyen 200-nál nem kisebb összeg esetén pontosan ki lehet pengetni 200-at is.

Ha viszont elfgadjuk az ötvenes címlet létezését is, akkor már nem igaz az, hogy minden címlet összevonható a fölötte levő címletekké: hiszen HÚSZASOKBÓL NEM LEHET ÖTVENEST KIRAKNI. Ezért ekkor lehetségessé válnak olyan ,,ravasz'' ,,érmekombinációk'' is, hogy 210-et ki tudok rakni, de 200-at NEM.

A feldat megoldását még NEM TUDOM. Az a SEJTÉSEM, hogy 210 a válasz, de még nem bizonyítottam be. Azért írtam csak le mindezt, mert talán ez mégis irányt adhat.

100

50

20, 20, 20

5

Összeg: 215

Pontosan 200 nem számolható ki belőle.

Szóval egyelőre 215 a ,,rekorder'', de ezt nem tudom még bebizonyítani.

A 230 még nagyobb ilyen ,,veszélyes'' összeg:

100, 50, 20, 20, 20, 20

ebből sem lehet 200-at kirakni.

Ebből következik, hogy a 235 is ,,veszélyes'' összeg:

100, 50, 20, 20, 20, 20, 5

ebből sem lehet 200-at kirakni.

Nagyobb példát ,,veszélyes összegre'' még nem találtam, de a bizonyítást még nem végeztem el, hogy miért is ne lehetne nagyobb. Szóval itt még nem tudok biztosat mondani.