Milyen n egész szám esetén lesz az R= (n^2+14n+40) / (n^2+10n+24) kifejezés értéke is egész?

R= (n² + 14n + 40)/(n² + 10n + 24)

Egyszerűsítés végett a számlálót és a nevezőt is szorzattá kell alakítani.

A másodfokú egyenletek megoldása után

a számláló

n² + 14n + 40 = (n + 4)(n + 10)

a nevező

n² + 10n + 24 = (n + 4)(n + 6)

formában írható.

Az n≠ -4 kikötéssel lehet egyszerűsíteni, miután

R = (n + 10)/(n + 6)

A jobb oldal kis átalakításával

R = (n + 6 + 4)/(n + 6) =

R = 1 + 4/(n + 6) n≠ -6

A R akkor lesz egész szám, ha a jobb oldal második tagja is egész szám, ez pedig úgy lehetséges, ha a nevező értéke osztója 4-nek: (n + 6)|4

Mivel 4 osztói: 1, 2, 4

a következő eseteket kell megvizsgálni

(1) n + 6 = 1

(2) n + 6 = 2

(3) n + 6 = 4

Így 'n' lehetséges értékei

(1)-ből n = -5

(2)-ből n = -4

(3)-ból n = -2

A második megoldást kizártuk, így az

n = -5

és az

n = -2

értékeknél lesz a R egész szám.

DeeDee

*************