Hogyan kell megoldani? (matek)

Izgalmas feladat! :-)

Bármennyire is hihetetlen, a meghökkentő feltételeket állító feladatnak van konkrét megoldása!

Legyen a két szám

x és y

A feladat szerint a következő műveleteket kell elvégezni velük

x + y

x - y

x*y

x/y

Ha csak kétféle szám lehet ezeknek az eredménye, jobb híján meg kell vizsgálni, mi adódik a műveletek párosításával előálló egyenletekből. Négy elemből - műveletből - (4 alatta 2) = 6 párt lehet képezni, ezek

(A) x + y = x - y

(B) x + y = x*y

(C) x + y = x/y

(D) x - y = x*y

(E) x - y = x/y

(F) x*y = x/y

Lássuk sorban

(A)

Eleve kiesik, mert y = 0 adódik belőle, ez pedig a feladat szerint nem lehet.

(B)

x + y = x*y

x = y/(y - 1)

(C)

x + y = x/y

xy + y² = x

y² = x(1 - y)

x = y²/(1 - y)

(D)

x - y = x*y

x(1 - y) = y

x = y/(1 - y)

(E)

x - y = x/y

xy - y² = x

x(y - 1) = y²

x = y²/(y - 1)

(F)

x*y = x/y

y² = 1

Egyelőre 5 féle megoldás van

(1) x = ±y/(y - 1)

(2) x = ±y²/(y - 1)

(3) y² = 1

Az (3) megoldás kiesik, mivel ezzel az értékkel x végtelen lenne, tehát marad 4 változat.

A továbbiakban 'y' értékét kéne meghatározni. Ezt a (2) egyenletekből lehet elérni

(2') x = y²/(y - 1)

Zárójel felbontás, rendezés után a

0 = y² - xy + x

egyenlet adódik, melynek nincs valós megoldása, mivel a determinánsa negatív.

(2")

x = -y²/(y - 1)

x = y²/(1 - y)

Zárójel felbontás, rendezés után a

0 = y² + xy - x

egyenlet adódik, melynek már van két valós gyöke

y1 = x*(√5 - 1)/2

y2 = -x*(√5 + 1)/2

Az eredeti, a (C) x + y = x/y egyenletbe behelyettesítve 'y' értékeit

x = 1

adódik.

Így

y1 = (√5 - 1)/2

y2 = -(√5 + 1)/2

Már csak azt kell eldönteni, hogy a két 'y' érték közül, melyik felel meg a feladat feltételeinek.

Nem írom le a behelyettesítéseket az x + y, x - y, x*y, x/y műveletekbe, a végeredmény az, hogy

x = 1

y = (√5 - 1)/2

==========

értékpár a megoldás, a műveletek elvégzése utáni két érték

(√5 - 1)/2

(√5 + 1)/2

amely értékek az aranymetszés arányszámai.

φ = (√5 - 1)/2

Φ = (√5 + 1)/2

DeeDee

*************

c és d nem lehet egyelő, mert akkor b 0 lenne. Tehát c és d különbözőek és ( c=e és d=f ) vagy ( c=f és d=e ).

c, d, e, f nem lehet egyik sem 0, mert f és e nem lehet 0, c és d pedig ezekkel egyenlő. Ezért nem lehet a=b (d 0 lenne) és ellentettek sem lehetnek (c 0 lenne).

Ha mindkét szám negatív, akkor az összegük negatív, a szorzatuk és a hányadosuk pozitív - c=e és c=f közöl egyik sem teljesülhet, ez baj, nem lehet mindkettő negatív, legfeljebb az egyik.

Ha mindkettő pozitív, akkor c, e, f is pozitív. a-nak nagyobb abszolút értékűnek kell lennie, hogy d is pozitív legyen.

Ha az egyik negatív, a másik pozitív, akkor e és f negatív, c és d is negatív kell legyen. Ezért a-nak kell negatívnak, b-nek pozitívnak lennie, és a abszolút értéke nagyobb kell legyen ez esetben.

Két lehetőség van:

a+b=c

a-b=d

a*b=c

a/b=d

vagy

a+b=c

a-b=d

a*b=d

a/b=c

Ez két egyenletrendszer, végig kell őket számolni külön-külön, és kijön, hogy van megoldás vagy nincs.

Egy megoldást én is találtam:

a = ½

b = -1

ez könnyen lehet ellenőrizni, tényleg jó:

a + b = ½ - 1 = -½

a - b = ½ + 1 = 1½

a · b = ½ · (-1) = -½

a / b = ½ / (-1) = -½

lám, tényleg kétféle végértéket kapunk, -½ és 1½ közül adódnak.

A lehetséges esetek közül (szerintem 10 van), mindössze három esetet vizsgáltam meg, így lehetnek még újdonságok (egyéb megoldások) is.

Mivel sok képletet kellett írni, ezért a könnyebb olvashatóság érdekében külön kódmegosztó oldalra töltöttem fel a (részleges) levezetésemet, mert ott lehet képletet is írni:

[link]

Sajnálatos módon az előző megoldásom, bármilyen érdekes is, egy gyermeteg hiba miatt rossz!! Felejtős! :-)

Egy része viszont jó, és ebből kiindulva megoldás is van.

Ez két kifejezés rendben van

(1) x = ±y/(y - 1)

(2) x = ±y²/(y - 1)

és a négy érték páronkénti egyenlővé tételével az utolsó válaszoló megoldása jön ki, vagyis

x = 1/2

y = -1

=====

DeeDee

***********

A példa során tulajdonképp két problémát kell megoldani. Az egyik nyilvánvalóan algebrai (egyenletek felállítása, megoldások számának levezetése).

Azonban ami fontosabb, az nem is annyira algebrai, mint inkább kombinatorikai probléma: egyáltalán milyen lehetséges esetek vannak.

[link]

[link] #Counting_partitions

Persze nekünk nem az összes lehetséges partíció kell, hanem azok közül csak ,,kétosztatúak''.

Az S(4,2) kiszámolásánál volt egy hibám, valójában nem 10, hanem csak 7 eset van: 4 elemű halmaz összes "két-osztatú" partícióinak száma csak 7, ezt lehet is ellenőrizni az értéktáblázatból:

[link]

Szerencsére persze nem kell ismerni a Stirling-számok fogalmát, mert a példa olyan kis számokkal dolgozik, hogy kézzel is könnyű elősorolni a lehetséges eseteket.

Ezt kétféle “séma” szerint tehetjük meg: “kettő kettő ellen” és “hárman egy ellen”.

Szóval a {+, -, ·, /} halmaz összes lehetséges 2-partíciói:

“kettő kettő ellen”

* {+} és {-, ·, /},

* {-} és {+, ·, /},

* {·} és {+, -, /},

* {/} és {+, -, ·},

“hárman egy ellen”

* {+, -} és {·, /},

* {+, ·} és {-, /},

* {+, /} és {-, ·}

Utóbbinál ügyelni kell rá, nemhogy véletlenül duplán számítsunk valamit:

* {+, -} és {·, /},

* {+, ·} és {-, /},

* {+, /} és {-, ·},

* {-, ·} és {+, /},

* {-, /} és {+, ·},

* {·, /} és {+, -}

ha így írnánk fel, akkor rendre duplán számítanánk azokat a felosztásokat, amelyeknél csak a ,,térfélcsere'' a különbség. A feladat szerint a ,,térfélcsere'' nem számít, lehetne olyan a feladat is (pl. valamiféle előírással, rögzítéssel), hogy számítson, de hát itt most nem számít. Ez volt az a pont ahol elkövettem a hibát.

Szóval itt az esetek leszámíthatók úgy is, mint összesítem négy elem összes lehetséges kételemű részhalmazainak számának **felét** (!), és még négy elem összes lehetséges egyelemű részhalmazainak számát (vagyis magát a négyet).

[link]

Szerintem az első ½, a második pedig -1:

Összegük: ½ + (-1) = ½ -1 = -½

Különbségük: ½ - (-1) = ½ + 1 = 1½

Szorzatuk: ½ · (-1) = -(½·1) = -½

Hányadosuk: ½ / (-1) = -(½ / 1) = -½

az összeg egybeesik a szorzattal és a hányadossal, ezek mindhárman -½ eredményt adnak, az öszeg pedig -½. Tehát ekkor nincs más végeredmény, csak ez a kétféle érték, vagyis -½ és 1½.közül adódnak.

Azt most még nem tudom, van-e más megoldás is, mert a hét lehetséges eset közül nem próbáltam ki mindet.

Javítás:

,,az összeg egybeesik a szorzattal és a hányadossal, ezek mindhárman -½ eredményt adnak, a különbség pedig 1½. Tehát ekkor nincs más végeredmény, csak ez a kétféle érték, vagyis -½ és 1½.közül adódnak. ''