Általános Iskola 8. osztályos Matematikai feladványok 4 db. Kérem valaki ha 1-et is tud valamelyik közül az irja le kérem szépen! A megoldásokra SÜRGŐSEN és RÉSZLETESEN volna szükségem! A feladatok és a hozzátartozó kérdések (? ) lent.

1. A 3:5 arány azt jelenti, hogy 8 egyenlő részből 3 az egyik 5 a másik területhez fog tartozni. Szóval:

88:8=11 11x3=33, 11x5=55, az egyik 33x48=1584m2 a másik 55x48=2640 m2, vagy 48:8=6, 6x3=18, 6x5=30, az egyik 18x88=1584m2, a másik 30x88=2640m2

4. P=K+4, G=K-6

egyenlet: (K+4)+K+(K-6)+70+80=260

egyszerüsítve: 3K-2=110, 3K=112, K=37,3333

Péter=37,33+4=41,33

4. P=K+4, G=K-6

egyenlet: (K+4)+K+(K-6)+70+80=260

egyszerüsítve: 3K-2=110, 3K=112, K=37,3333

Péter=37,33+4=41,33

Gabi nem nehezebb, mint Karcsi?

P= K+4

K= K ((G-6))

G= K+6

Ganya= 70

Gapa=80

K+4+K+K+6+70+80=260

(azért '=' mert legfeljebb -> vagyis a max értéket keressük)

3K+160=260

3K=100

K=~33

P= K+4= 37

3. feladat

Legyen

N - a szétosztandó összeg

n - a gyerekek száma

n1 - egy gyerek része

Egy gyerek kap

n1 = 100 + (N - 100)/10

kicsi átalakítva

n1 = N/10 + 90

forintot.

A feladat szerint mindenki ennyit kap, vagyis

N = n*n1

N = n*[(N/10) + 90]

Ebből

N = 900n /(10 - n)

A jobb oldal számlálóját nevezőjét 'n'-nel osztva

N = 900/(10/n - 1)

Mivel 10 osztói: 2 és 5, a nevező értéke: 4 vagy 1

Tehát ha

n = 2

N = 900/4

N = 225 Ft

n1 = 112,5 Ft

===========

ill. ha

n = 5

N = 900/1

N = 900 Ft

n1 = 180 Ft

=========

A feladat feltételeinek mindkét érték megfelel.

DeeDee

***********

5. feladat

Legyen

Sz = 150 - a szülők súlya

a feltételek szerint

K = P - 4

G = K + 6

Gmax = 260 - a lift teherbírása

Mivel Péter súlya a kérdés, a többi gyerek súlya az ő súlyának függvényében

K = P - 4

G = P - 4 + 6

G = P + 2

Mindenki beszáll a liftbe

Sz + K + G + P ≤ Gmax

Sz + P - 4 + P + 2 + P ≤ Gmax

Sz + 3P - 2 ≤ Gmax

150 + 3P - 2 ≤ 260

3P ≤ 112

P ≤ 112/3

P ≤ 37,333.

=========

Tehát Péter max. 37,333. kg lehet.

DeeDee

**********

Kiegészítés a 3. feladathoz.

A 10 osztói nemcsak 12 és 5, hanem 1 és 10 is.

Az n = 10 kiesik, mert akkor 0 lenne a nevező.

Az n = 1 elméletileg jó, de a feladatban több gyerekről van szó, ezért nem megoldás.

DeeDee

**********

1. feladat

Legyen a terület két oldala

a = 88

b = 48

p = 3:5 - a felosztás aránya

T1, T2 = ? - a felosztott területek nagysága

(A jelölések egy, a hosszabbik oldalán fekvő téglalapra vonatkoznak)

A második kérdés kicsit beugratós, kezdjük ezzel.

Gondolj bele, ha egy téglalapot meg akarsz felezni (p = 1:1), tök mindegy, melyik oldalával párhuzamosan húzod meg a felezővonalat, a keletkezett két terület mindig az egész fele lesz. Ugyanez érvényes, ha más arányban osztott oldalakkal osztod fel a téglalapot. A példabeli 3:5 arány esetén az egyik terület az egész 3/8-ad, a másik pedig 5/8-ad része lesz, független attól, melyik oldallal párhuzamosan húzod meg az osztóvonalat.

Mivel a teljes terület

T = a*b

T = 88*48 = 4224 m²

a felosztás utáni kisebbik terület

T1 = (3/8)*T

T1 = 1584 m²

==========

a nagyobbik

T2 = (5/8)*T

T2 = 2640 m²

=========

A felosztott területek oldalai

Mivel a felosztás aránya

p = 3:5

a felosztási egység az aránypár tagjainak összege, vagyis 3 + 5 = 8,

azaz a felosztott oldal rövidebbik része 3/8-ad rész, a hosszabbik 5/8-ad rész.

Tehát ha vízszintesen osztod fel a területet

a rövidebb rész

b1 = (3/8)*48

b1 = 18 m

a hosszabbik

b2 = (5/8)*48

b2 = 30 m

a felosztott területek másik oldala a teljes téglalap hosszabbik oldala: 88 m

tehát a

T1 oldalai 18x88

T2 oldalai 30x88

Függőleges felosztás esetén

a rövidebb rész

a1 = (3/8)*88

a1 = 33 m

a hosszabbik

a2 = (5/8)*88

a2 = 55 m

a felosztott területek másik oldala a teljes táglalap rövidebb oldala: 48 m

tehát a

T1 oldalai 33x48

T2 oldalai 55x48

DeeDee

*********

2. feladat

N = 62a72b

0 ≤ a ≤ 9

0 ≤ b ≤ 9

és 18|62a72b

Egy szám akkor osztható 18-cal, ha osztható 2-vel és 9-cel is.

Kettővel akkor osztható, ha páros, tehát 'b' lehetséges értékei: 0, 2, 4, 6, 8

Kilenccel akkor osztható, ha a számjegyek összege osztható 9-cel.

Ezért írható

s = 6 + 2 + a + 7 + 2 + b

s = 17 + a + b

17 + a + b = n*9

ahol n > 0 egész szám

A baloldalt átalakítva

17 + 1 + a + b - 1= n*9

18 + a + b - 1 = n*9

Mindkét oldalt osztva 9-cel

2 + (a + b - 1)/9 = n

A második tag az érdekes

az

(a + b - 1)/9

hányados akkor lesz egész szám, ha

a + b = 10

előzőleg a 'b' lehetséges értékei közt szerepelt a 0 is, de látható, hogy ez nem jöhet szóba, mert akkor a>9 kellene legyen, ez pedig nem lehetséges.

Tehát marad 'b' értékeire: 2, 4, 6, 8

így a a lehetséges párosítások:

b a

2 8

4 6

6 4

8 2

ezért a lehetséges számok

62(8)72(2)

62(6)72(4)

62(4)72(6)

62(2)72(8)

(zárójelben a behelyettesített értékek)

A legnagyobb szám

Nmax = 628722

Nmin = 622728

a különbségük

ΔN = 5994

=========

DeeDee

*********