MATEK: Határozzuk meg a négyzet többi csúcsának koordinátáit, ha P (-1;2) és Q (5;-3) a négyzet két szomszédos csúcsa. R? S?

akkor az első amit írtam.

P(-1,2)

Nos állítsuk erre egy x-el párhuzamost. Nézzük meg, hogy hol metszené az y tengelyt. Látható, hogy a koordináta (x,y) értékekből a 2 az y, magyarul ha az x-re merőlegest állítunk, akkor az az y=2-nél fogja metszeni az y tengelyt.

Írjuk fel az egyenletet. Alapegyenlet:

y-yo=m*(x-xo)

Amiből az m a meredekséget jelenti, az yo, xo a tartópontok.

Tudjuk, hogy az yo=2, xo=0. Azért nulla, mert ugye (0,2)-nél metszi az y tengelyt. A meredekség egy NAGY NAGY nulla, mivel nincs meredeksége. Ez vízszintes.

Beírva a képletbe:

y-yo=m(x-xo)

y-2=0*(x-0)

y-2=0

y=2

Pompás.

Most állítsunk a q-ra egy y tengellyel párhuzamost.

q(5,-3).

Mint tudjuk, ha valami az y tengellyel párhuzamos, az y tengelyt nem metszi, hanem megy mellette, viszont az x-et metszi az x=5 pontban.

Igazából beírhatnám a képletbe megint (amit szemléltetésképpen mutattam meg), de az x=5 már maga az egyenlet.

Írjuk fel az egyenletrendszert

x=5

y=2

Nos mint látod, ezek már eleve eredmények. Meg se kellett oldani, mert eleve adódik. Az egyik pont meg is van, mondjuk legyen az R. R(5,2)

Most csináljuk meg ugyanazt, csak fordítva. A P(-1,2) pontra állítsunk egy y tengellyel párhuzamos egyenest, és a Q(5,-3)-ra az x tengellyel párhuzamos egyenest.

P-nél: x=-1

Q-nál: y=-3

Az egyenletrendszer ismét adott, az S pont (-1,-3).

Ebben a feladatban az a vicces dolog, hogy nem négyzetet kapsz, hanem téglalapot. Vagy te írtál ki rossz értékeket, vagy a feladatkészítő írta le rosszul, vagy én használok hibás pontokat, és nem veszem észre.

P(-1,2) és Q(5,-3) ponton áthaladó egyenest felírom. Először meghatározom az irányvektort:

PQ(6,-5)

Ebből az egyenes normálvektora: N(5,6)

Van egy olyan fincsi kis képletünk, hogy Ax+By=Axo+Byo

Ebből az A az N x-je, a B az N y-ja. Az xo yo egy pont az egyenesen. Legyen mondjuk P mert az a legkisebb.

5x+6y=5*(-1)+6*2

e: 5x+6y=7

e: y=-5/6x+7/6

Ebből e meredeksége: V (6,-5), ugye az irányvektora

Most állítsunk a P pontra egy e egyenesre merőleges f egyenest.

Az egyenes normálvektorának 90 fokos elforgatásával megkapjuk az f egyenes normál vektorát, amely egyenlő az e egyenes irányvektorával:

Nf(6,-5)

Felírva a P pontra:

Ax+By=Axo+Byo

6x-5y=6*(-1)-5*2

6x-5y=-6-10

f: 6x-5y=-16

Bocs, elment a kedvem az itt számolgatástól, de leírom hogy kéne:

megnézed az e egyenes origótól való távolságát, majd megnézed, hogy mennyi a q és p közti távolság. Eltolod az e egyenest ezzel a távolsággal, ügyelve arra, hogy az origótól való távolságát az e-nek kivond/hozzáadd, de megmondom, hogy ebben az esetben kivonjuk.

Így eltolva az eltolt e* egyenes és az f egyenes metszéspontja kiadja az egyik pontot. Q-ra is állítasz egy e-vel árhuzamos egyenest,majd megnézed ott is a metszéspontot.

Biztos túlbonyolítom neked, és most teljesen belezavarodsz.

Ha az összeadás és kivonás számolásnak számít, akkor ezt a feladatot akár fejben is meg lehet oldani. :-)

Gondolom, skiccet lehet használni a megoldáshoz, és az sem bűn, ha az emberke gondolkodik, és felhasználja a geometriai tudását is.

Adott

P1(-1; 2)

P2(5; -3)

P3(x3; y3), P4(x4; y4) = ?

A megoldás lépésenként:

- Ábrázolod a két pontot

- Mindkét pontban merőlegest állítasz a két pontot összekötő egyenesre

- Ezekre felméred a megadott 2 pont távolságát (tkp. a négyzet oldalát), így megkapod a hiányzó két csúcsot.

A P1 pont merőlegesén legyen a P3, a P2-én legyen a P4 pont.

- Ha P1 és a P4 ponton át párhuzamost húzol az 'y', a P2 és a P3 ponton keresztül az 'x' tengellyel, akkor egy nagy négyzetbe foglaltad a kicsit.

- A nagy és a kis négyzet között a 4 sarokban 4 egybevágó derékszögű háromszög alakult ki, melynek befogói a megadott két pont koordinátáiból számíthatók.

A rövidebb befogó

Δy = |y2 - y1)| = 5

a hosszabbik

Δx = |x2 - x1) = 6

- A geometriából adódóan

x3 = x1 + Δy = -1 + 5 = 4

y3 = y1 + Δx = 2 + 6 = 8

így

P3(4; 8)

======

x4 = x2 + Δy = 5 + 5 = 10

y4 = y2 + Δx = -3 + 6 = 3

és

P4(10; 3)

=======

Minimális számolással és egy kis gondolkodással ennyi lenne a megoldás.:-)

DeeDee

======