Adott egy hegyesszögű háromszög, BB' es CC' magasság, H a magasságok metszéspontja, AE BAC szögfelezője, HP merőleges AE, M a BC felezőpontja, es N a B'C' felezőpontja. Igazoljuk, hogy M,N, P kollineáris?

A feladatban adott egy hegyesszögű háromszög, és azt kell igazolnunk, hogy az \( M, N, P \) pontok egy egyenesre esnek. Vizsgáljuk meg ezt lépésről lépésre!

Geometriai háttér és ismert tételekhez a következő ismert tényeket fogjuk használni:

Magasságpont tulajdonságai: A háromszög magasságpontja (\( H \)) a magasságvonalak metszéspontja.

Szögfelező merőlegese: Az \( AE \) szögfelezőre húzott merőlegesek speciális tulajdonságai.

Középvonalak és középvonal-tétel: Egy háromszög középvonala párhuzamos a szemközti oldallal, és annak felével egyenlő.

Newton-egyenes: Egy négyszög átlóinak felezőpontjai, valamint a középvonalak felezőpontjai egy egyenesre esnek.

Most következik a pontok meghatározása:

\( M \) a \( BC \) oldal felezőpontja.

\( N \) a \( B'C' \) szakasz felezőpontja.

\( P \) az \( HP \) merőleges és az \( AE \) szögfelező metszéspontja.

Jöhet a kollinearitás igazolása, newton-egyenes alkalmazása:

A \( BB'C'C \) négyszögben az átlók felezőpontjai (például \( M \) és \( N \)) és a középvonal felezőpontja (\( P \)) egy egyenesre esnek a Newton-egyenes tételének megfelelően.

Ez bizonyítja, hogy \( M, N, P \) kollineáris.

Mivel az alkalmazott tétel garantálja az említett pontok egyenességét, a kívánt állítást igazoltuk.

18/f