Matek! Hogy igazolnad? Surgos lenne!

Ha szögekről van szó, a következő a megoldás.

²

A feladat

F = sin²[(A - B)/2] + sinA*sinB + sin²(C/2) = 1

és

A + B + C = 180

Legyen

x = A/2

y = B/2

z = C/2

ezzel

sin²(x - y) + sin(2x)*sin(2y) = 1 - sin²z

Lássuk először a jobb oldalt

mivel

A + B + C = 180

mindkét oldalt 2-vel osztva

x + y + z = 90

z = 90 - (x + y)

sinz = cos(x + y)

így

1 - sin²z = 1 - cos²(x + y)

Egyelőre ott tartunk, hogy

sin²(x - y) + sin(2x)*sin(2y) = 1 - cos²(x + y)

Jön a bal oldal második tagja

sin(2x)*sin(2y) = 2*sinx*cosx * 2*siny*cosy

A jobb oldalt másképp csoportosítva

2*sinx*siny * 2*cosx*cosy

A kulcs a következő két azonosság

sinx*siny = [cos(x - y) - cos(x + y)]/2

cosx*cosy = [cos(x - y) + cos(x + y)]/2

mivel ezeknek a kétszerese kell, a jobb oldal

2*sinx*siny * 2*cosx*cosy = [cos(x - y) - cos(x + y)]*[cos(x - y) + cos(x + y)]

Észre kell venni, hogy a szögletes zárójelben ugyanazon két tag összegének és különbségének szorzata áll, ezért az (a-b)*(a+b)= a² - b² azonosság mintájára

2*sinx*siny * 2*cosx*cosy = cos²(x - y) - cos(x + y)²

A feladat immár így néz ki

sin²(x - y) + cos²(x - y) - cos(x + y)² = 1 - cos²(x + y)

mivel

sin²(x - y) + cos²(x - y) = 1

1 - cos²(x + y) = 1 - cos²(x + y)

azonosságra jutottunk, igazolva a feladat egyenletét.

DeeDee

**********