Mely nem konstans függvényre teljesül, hogy minden (mondjuk pozitív) x érték esetén: f(x)+f(1/x)=1 ?

f(x)=0.5+log(x)

Egy megoldás pl.

Ha feltételezzük, hogy f(x) logaritmusfüggvény, vagyis f(x)=log(a)[x]+c alakú, ahol a;c a kikötéseknek megfelelő valós számok, akkor ezt kapjuk:

log(a)[x]+c + log(a)[1/x]+c = 1

Azért volt jó a logaritmus választani, mert a log(a)[1/x] részt szét tudjuk szedni:

log(a)[x]+c + log(a)[1] - log(a)[x]+c = 1

log(a)[1] értéke mindig 0, a logok kiütik egymást, így marad

2c = 1, amire c=0,5 adódik. Ez azt jelenti, hogy az összes log(a)[x]+0,5 alakú függvény megfelelő.

Persze ettől eltérő megoldások is lehetnek.

"Mely nem konstans függvényre teljesül, hogy minden (mondjuk pozitív) x érték esetén: f(x)+f(1/x)=1"

A megoldás egy olyan f(x) függvény, amire igaz, hogy a f(x)+f(1/x) deriváltja mindenütt 0 és az értéke 1 pontban 1.

Bármely olyan függvény, amely definiálva van a [-1,1] intervallumon ÉS azon kívül a definíciója az hogyha |x|>1 akkor f(x):=1-f(1/x). Ebből olyan további megkötés jön hogy f(1)=1-f(1/1) miatt f(1)=1/2.

De látható hogy végtelen ilyen függvény van.

pl.

(1/2)x^2 ha |x|<=1 és f(1)=1/2

1-(1/2)(1/x)^2 ha |x|>1

Ez egy folytonos függvény, ami az x=+/-1 pontban nem deriválható.

#4

(1/2)x^2 nem jó: pl. f(x)+f(1/x)=81/2+1/162=????

És a másik sem.

#6

"Most ez egy vicc?"

Nem.

Megadtam a megoldás első lépését. Gondolom ismered az összetett függvények deriváltját.

És ennek a megoldási útnak az eredménye teljesebb, mint amit 1-es írt. Mert tartalmazza a folyamatot, ami az eredményhez vezetett és feltárja az összes lehetséges megoldást. Azaz bizonyítja, hogy nincs több.

"Ez nem éppen megoldási út."

Ahogy írtam, ez az első lépés.

"Hol van az összes lehetséges megoldás???"

A több lépésből álló út végén.

"Mondanál még egy konkrétat a fenti logaritmusos példán kívül?"

Nem állítottam, hogy egynél több van. (Bár van...) Csak azt, hogy 1-es megoldása nem foglalkozik azzal, hogy hány van. És ez a lényeg. Hogy az ilyen megoldás hiányos. Mert a kérdés nem úgy szólt, hogy mondj EGY olyan konstans függvényt, amelyre ...

De ha nem érted ezeket a finom különbségeket egy megoldással vagy bizonyítással kapcsolatban, akkor nem erőltetem.